Sur l'application de symétrie CR formelle
Résumé
La recherche de formes normales pour les sous-variétés analytiques réelles de $\C^n$ soulève la question de la convergence des normalisations formelles. En 1983, J.K. Moser et M.W. Webster ont donné des exemples de surfaces analytiques réelles dans $\C^2$ à tangente complexe isolée et hyperbolique au sens de E. Bishop, qui sont formellement mais non holomorphiquement normalisables (à cause d'un phénomène de petits diviseurs), même lorsque la forme normale est elle-mêeme analytique ou algébrique. En revanche, il apparaît qu'un tel phénomène ne se produit pas pour les sous-variétés dont la dimension CR est localement constante, d'après des résultats récents dus à S.M. Baouendi, P. Ebenfelt et L.-P. Rothschild, et qui sont énoncés avec des hypothèses de non-dégénéerescence relativement simples, mais satisfaites en un point Zariski-générique. Ces auteurs établissent notamment que toute application CR formelle inversible entre deux sous-variétés de $\C^n$ génériques, analytiques réelles, finiment non-dégénérées et minimales (au sens de J.-M. Trépreau et A.E. Tumanov) est convergente. Nous démontrons ici un théorème de convergence plus général, valable sans aucune hypothèse de non-dégénérescence, et qui confirme la rigidité de la catégorie CR ({\it voir} Théorème 1.23). Ce résultat s'interprète alors comme un principe de symétrie de Schwarz formel pour les applications CR. Nous en déduisons que toute équivalence CR formelle entre deux sous-variétés de $\C^n$ génériques, analytiques réelles et minimales est convergente si et seulement si les deux sous-variétés sont holomorphiquement non-dégénérées (au sens de N. Stanton). Enfin, nous établissons que deux sous-variétés de $\C^n$ génériques, analytiques réelles et minimales sont formellement CR équivalentes si et seulement si elles sont biholomorphiquement équivalentes.