Un problème de type Yamabe sur les variétés compactes spinorielles compactes

Bernd Ammann (1) , Emmanuel Humbert (1) , Bertrand Morel (1)

1 IECN - Institut Élie Cartan de Nancy

Let $(M,g,\si)$ be a compact spin manifold of dimension $n \geq 2$. Let $\lambda_1^+(\tilde{g})$ be the smallest positive eigenvalue of the Dirac operator in the metric $\tilde{g} \in [g]$ conformal to $g$. We then define $\lamin(M,[g],\si) = \inf_{\tilde{g} \in [g] } \lambda_1^+(\tilde{g}) \Vol(M,\tilde{g})^{1/n} $. We show that $0< \lamin(M,[g],\si) \leq \lamin(\mS^n)$. %=\frac{n}{2}\, \om_n^{{1 \over n}}$ . We find sufficient conditions for which we obtain strict inequality $\lamin(M,[g],\si) < \lamin(\mS^n)$. This strict inequality has applications to conformal spin geometry.
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Soit $(M,g,\si)$ une variété spinorielle compacte de dimension $n \geq 2$. %Si $\tilde{g} \in [g]$ est une métrique conforme à $g$, On note $\lambda_1^+(\tilde{g})$ la plus petite valeur propre $>0$ de l'opérateur de Dirac dans la métrique $\tilde{g} \in [g]$ conforme à $g$. On définit $\lamin(M,[g],\si) = \inf_{\tilde{g} \in [g] } \lambda_1^+(\tilde{g}) \Vol(M,\tilde{g})^{1/n} $. On montre que $0< \lamin(M,[g],\si) \leq \lamin(\mS^n)$. %= \frac{n}{2}\, \om_n^{{1 \over n}}$ On trouve des conditions suffisantes pour lesquelles on obtient l'inégalité stricte $\lamin(M,[g],\si) < \lamin(\mS^n)$. Cette inégalité stricte a des applications en géométrie spinorielle conforme.

Domaines: Géométrie différentielle [math.DG]

Bernd Ammann, Emmanuel Humbert, Bertrand Morel. Un problème de type Yamabe sur les variétés compactes spinorielles compactes. Comptes rendus de l'Académie des sciences. Série I, Mathématique, 2004, 338 (12), pp.929-934. ⟨hal-00147465v2⟩