Numerical solution of the second boundary value problem for the Elliptic Monge-Ampère equation

Jean-David Benamou (1) , Adam Oberman (2) , Froese Britanny (3)

1 MOKAPLAN - Méthodes numériques pour le problème de Monge-Kantorovich et Applications en sciences sociales
2 Department of Mathematics and Statistics [Montréal]
3 SFU - Department of Mathematics [Burnaby]

This paper introduces a numerical method for the solution of the nonlinear elliptic Monge-Ampére equation. The boundary conditions correspond to the optimal transportation of measures supported on two domains, where one of these sets is convex. The new challenge is implementing the boundary conditions, which are implicit and non-local. These boundary conditions are reformulated as a nonlinear Hamilton-Jacobi PDE on the boundary. This formulation allows us to extend the convergent, wide stencil Monge-Ampére solvers proposed by Froese and Oberman to this problem. Several non-trivial computational examples demonstrate that the method is robust and fast.

Cet article présente une méthode de résolution numérique pour une équation de Monge Ampére elliptique non-linéaire. Les conditions aux limites particuliéres correspondent au probléme du transport optimal entre deux mesures dont au moins un des supports est convexe. La difficulté posée tient au caractére implicite et non local de ces conditions aux limites. Nous proposons de les reformuler comme une équation de Hamilton-Jacobi sur le bord. Ceci permet d'étendre les schémas de type "wide-stencil" et résultats de convergence associés de Froese et Oberman á ce probléme. Plusieurs cas tests, certains non triviaux, démontrent la rapiditéé et robustesse de la méthode

Mots clés: Optimal Transportation; Monge-Ampére Equation

Domaines: Equations aux dérivées partielles [math.AP]

Jean-David Benamou, Adam Oberman, Froese Britanny. Numerical solution of the second boundary value problem for the Elliptic Monge-Ampère equation. [Research Report] INRIA. 2012. ⟨hal-00703677⟩