Rational Univariate Representations of Bivariate Systems and Applications
Résumé
We address the problem of solving systems of two bivariate polynomials of total degree at most $d$ with integer coefficients of maximum bitsize $\tau$. It is known that a linear separating form, that is a linear combination of the variables that takes different values at distinct solutions of the system, can be computed in $\sOB(d^{8}+d^7\tau)$ bit operations (where $O_B$ refers to bit complexities and $\sO$ to complexities where polylogarithmic factors are omitted) and we focus here on the computation of a Rational Univariate Representation (RUR) given a linear separating form. We present an algorithm for computing a RUR with worst-case bit complexity in $\sOB(d^7+d^6\tau)$ and bound the bitsize of its coefficients by $\sO(d^2+d\tau)$. We show in addition that isolating boxes of the solutions of the system can be computed from the RUR with $\sOB(d^{8}+d^7\tau)$ bit operations. Finally, we show how a RUR can be used to evaluate the sign of a bivariate polynomial (of degree at most $d$ and bitsize at most $\tau$) at one real solution of the system in $\sOB(d^{8}+d^7\tau)$ bit operations and at all the $\Theta(d^2)$ {real} solutions in only $O(d)$ times that for one solution.
Nous abordons le probléme de la résolution de systémes de deux polynômes á deux variables de degré total au plus $d $ á coefficients entiers de bitsize maximale $ \tau $. Il est connu que une forme linéaire séparante, c'est-á-dire une combinaison linéaire des variables qui prend des valeurs différentes quand elle est évaluée en des solutions (complexes) distinctes du systéme, peut être calculée en \comp\ bits opérations (oú $ \sO $ se référe á la complexité oú les facteurs polylogarithmiques sont omis et $O_B$ se référe á la complexité binaire) et nous nous concentrons ici sur le calcul d'une représentation univariée rationnelle (RUR) étant donné une forme linéaire séparante. Nous présentons un algorithme pour le calcul d'une RUR de complexité $ \sOB (d^7 + d^6 \tau) $ dans le pire cas et nous bornons la taille de ses coefficients par $ \sO(d^2 + d\tau) $. Nous montrons en outre que des boîtes d'isolation des solutions du systéme peuvent être calculées á partir de la RUR avec \comp\ bits opérations. Enfin, nous montrons comment une RUR peut être utilisée pour évaluer le signe d'un polynôme á deux variables (de degré au plus $ d $ et bitsize au plus $ \tau $) en une solution réelle du systéme en \comp\ bits opérations et en toutes les $ \Theta(d^2) $ solutions réelles en seulement $ O(d) $ fois plus que pour une solution.
Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)
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