Une approximation de la queue de la densité du cours de l'actif dans le modèle de Heston
Résumé
Nous reprenons en partie les travaux de l'article "On refined volatility smile expansion in the Heston model" de P.Friz, S.Gerhold, A.Gulisashvili et S.Sturm. Les deux principaux résultats de cet article sont une formule asymptotique de la densité du prix dans le modèle de Heston et une expression de la volatilité implicite de Black et Scholes. Nous nous sommes intéressés essentiellement sur le premier résultat et son application aux extrêmes, en effet, nous savons par des études empiriques que la densité des log-return ou rendements logarithmiques n'est pas gaussien et est caractérisée par des queues importantes et des crêtes élevées. L'objectif de ce travail est justement de caractériser le comportement de la queue de la densité du prix pour des valeurs grandes par des techniques d'ana- lyse mathématiques et de prouver certains points-clés omis par les auteurs de l'article. Dans un premier temps, nous introduisons le modèle de Heston et la notion de temps d'explosion. Nous définirons la transformée de Mellin du prix puis nous montrerons que le théorème d'inversion de Mellin s'applique. Nous analyserons le comportement de la formule d'inversion de Mellin pour des valeurs grandes par la méthode du point col et nous verrons que la queue de la densité du prix est de type-Pareto. Dans un second temps, nous présentons des simulations des trajectoires du prix et de la volatilité dans le modèle de Heston et montrerons que sur des vraies données financières, la densité des rendements logarithmiques n'est pas gaussien mais plutôt à décroissance exponentielle.