Particle approximation of the one dimensional Keller-Segel equation, stability and rigidity of the blow-up.

Vincent Calvez (1, 2) , Thomas Gallouët (3)

1 UMPA-ENSL - Unité de Mathématiques Pures et Appliquées
2 NUMED - Numerical Medicine
3 MEPHYSTO - Quantitative methods for stochastic models in physics

We investigate a particle system which is a discrete and deterministic approximation of the one-dimensional Keller-Segel equation with a logarithmic potential. The particle system is derived from the gradient flow of the homogeneous free energy written in Lagrangian coordinates. We focus on the description of the blow-up of the particle system, namely: the number of particles involved in the first aggregate, and the limiting profile of the rescaled system. We exhibit basins of stability for which the number of particles is critical, and we prove a weak rigidity result concerning the rescaled dynamics. This work is complemented with a detailed analysis of the case where only three particles interact.

Nous étudions un schéma particulaire qui est une approximation discrète et déterministe de l'équation de Keller-Segel en dimension un avec potentiel logarithmique. Le système de particules est obtenu comme le flot gradient de l'énergie libre écrite en coordonnées Lagrangiennes. On se concentre sur la description de l'explosion des particules : en particulier sur le nombre de particules impliquées dans la création de la première singularité. On exhibe des bassins d'attraction pour lesquelles le nombre de particules est critique. On montre un théorème de rigidité faible concernant la dynamique du système rescalé. Ce travail est complété par une analyse détaillée du cas ou seulement trois particules interagissent.

Mots clés: Keller Segel; blow-up; critical mass

Domaines: Analyse fonctionnelle [math.FA]; Equations aux dérivées partielles [math.AP]

Vincent Calvez, Thomas Gallouët. Particle approximation of the one dimensional Keller-Segel equation, stability and rigidity of the blow-up.. Discrete and Continuous Dynamical Systems - Series A, 2015. ⟨hal-00968347⟩