Super-convergence in maximum norm of the gradient for the Shortley-Weller method
Super-convergence en norme infinie du gradient pour la méthode de Shortley-Weller.
Résumé
We prove in this paper the second-order super-convergence in maximum norm of the gradient for the Shortley-Weller method. Indeed, this method is known to be second-order accurate for the solution itself and for the discrete gradient, although its consistency error near the boundary is only first-order. We present a proof in the finite-difference spirit, using a discrete maximum principle to obtain estimates on the coefficients of the inverse matrix. The proof is based on a discrete Poisson equation for the discrete gradient, with second-order accurate Dirichlet boundary conditions.
The advantage of this finite-difference approach is that it can provide pointwise convergence results depending on the local consistency error and the location on the computational domain.
Nous présentons dans ce rapport une preuve de la super-convergence à l'ordre deux du gradient, en norme max pour la méthode de Shortley-Weller.
En effet, avec cette m\'ethode le gradient discret converge à l'ordre deux même si l'erreur de troncature près du bord du domaine est d'ordre un seulement, et que la solution elle-même ne converge aussi qu'à l'ordre deux.
La preuve est réalisée avec une technique de différences finies, inspirée par l'article de Ciarlet [1], et utilisant un principe du maximum discret pour obtenir des estimations des coefficients de la matrice inverse.
Elle utilise une formulation discrète de l'équation de Poisson pour le gradient discret, avec des conditions au bord de Dirichlet à l'ordre deux.
Cette approche par diff\'erences finies permet d'obtenir des résultats de convergence locaux, en fonction des différentes valeurs de l'erreur de troncature et de la position du point considéré sur le domaine de calcul.
Elle permet aussi d'obtenir des résultats en norme max.
Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)
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