Small-time global exact controllability of the Navier-Stokes equation with Navier slip-with-friction boundary conditions
Contrôlabilité globale exacte en temps petit de l'équation de Navier-Stokes avec des conditions au bord de Navier de glissement avec frottement
Résumé
In this work, we investigate the small-time global exact controllability of the Navier-Stokes equation , both towards the null equilibrium state and towards weak trajectories. We consider a viscous incompressible fluid evolving within a smooth bounded domain, either in 2D or in 3D. The controls are only located on a small part of the boundary, intersecting all its connected components. On the remaining parts of the boundary, the fluid obeys a Navier slip-with-friction boundary condition. Even though viscous boundary layers appear near these uncontrolled boundaries, we prove that small-time global exact controllability holds. Our analysis relies on the controllability of the Euler equation combined with asymptotic boundary layer expansions. Choosing the boundary controls with care enables us to guarantee good dissipation properties for the residual boundary layers, which can then be exactly canceled using local techniques.
Dans ce travail, nous nous intéressons à la contrôlabilité globale exacte en temps petit de l'équation de Navier-Stokes, à la fois vers l'état de repos nul et vers des trajectoires faibles. Nous considérons un fluide visqueux incompressible, évoluant à l'intérieur d'un domain régulier borné en 2D ou en 3D. Les contrôles sont situés seulement sur une petite partie de la paroi, rencontrant toutes ses composantes connexes. Sur les autres parties de la paroi, le fluide est soumis à une condition au bord de Navier de glissement avec frottement. Bien que des couches limites visqueuses se forment à proximité de ces parois non contrôlées, nous démontrons que le système est globalement exactement contrôlable. Notre analyse repose sur la contrôlabilité de l'équation d'Euler combinée à un développement asymptotique des couches limites. Le choix de contrôles au bord appropriés permet de garantir la bonne dissipation des couches limites résiduelles, qui peuvent ensuite être annulées exactement à l'aide de techniques locales.
Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)