A symbolic computation approach to the asymptotic stability analysis of differential systems with commensurate delays
Une approche par le calcul formel de la stabilité asymptotique des systèmes linéaires différentiels à retards commensurables
Résumé
This paper aims at studying the asymptotic stability of retarded type linear differential systems with commensurate delays. Within the frequency-domain approach, it is well-known that the asymptotic stability of such a system is ensured by the condition that all the
roots of the corresponding quasipolynomial have negative real parts. A classical approach for checking this condition consists in computing the set of critical zeros of the quasipolynomial, i.e., the roots (and the corresponding delays) of the quasipolynomial that lie on the imaginary axis, and then
analyzing the variation of these roots with respect to the variation of the delay. Following this approach, based on solving algebraic
systems techniques, we propose a certified and efficient symbolic-numeric algorithm for computing the set of critical roots
of a quasipolynomial. Moreover, using recent algorithmic results developed by the computer algebra community, we present an efficient
algorithm for the computation of Puiseux series at a critical zero which allows us to finely analyze the stability of the system with
respect to the variation of the delay. Explicit examples are given to illustrate our algorithms.
Ce papier a pour but l’étude de la stabilité asymptotique des systèmes différentiels linéaires à retards commensurables de type retardé. Dans l’approche fréquentielle, il est bien connu que la stabilité asymptotique d’un tel système est assurée par la condition que les racines du quasipolynôme correspondant ont des parties réelles négatives. Une approche classique pour tester cette condition consiste à calculer l’ensemble des zéros critiques du quasipolynôme, c’est-à-dire les racines (et les retards correspondants) du quasipolynôme qui sont sur l’axe imaginaire, et d’analyser la variation de ces racines par rapport à la variation du retard [16]. Suivant cette approche, et en nous basant sur des techniques de résolution de systèmes algébriques, nous proposons un algorithme symbolique-numérique efficace et certifié pour le calcul de l’ensemble des racines critiques d’un quasipolynôme. De plus, en utilisant des résultats algorithmiques récents développés par la communauté du calcul formel, nous présentons un algorithme efficace pour le calcul des séries de Puiseux en une racine critique nous permettant d’analyser finement la stabilité du système par rapport à la variation du retard [15]. Nous donnons des exemples explicites qui illustrent nos algorithmes.
Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)
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