Nonlinear Mapping and Distance Geometry
Géométrie sur les distances et meilleure image euclidienne avec distances pondérées
Résumé
Distance Geometry Problem (DGP) and Nonlinear Mapping (NLM) are two well established questions: Distance Geometry Problem is about finding a Euclidean realization of an incomplete set of distances in a Euclidean space, whereas Nonlinear Mapping is a weighted Least Square Scaling (LSS) method. We show how all these methods (LSS, NLM, DGP) can be assembled in a common framework, being each identified as an instance of an optimization problem with a choice of a weight matrix. We study the continuity between the solutions (which are point clouds) when the weight matrix varies, and the compactness of the set of solutions (after centering). We finally study a numerical example, showing that solving the optimization problem is far from being simple and that the numerical solution for a given procedure may be trapped in a local minimum.
Les domaines de géométrie sur les distances (distance geometry) et de recherche de meilleure image euclidienne avec distances pondérées (nonlinear mapping) sont deux domaines classiques : il s’agit pour le premier de construire une isométrie d’un espace métrique discret vers un nuage de points dans un espace euclidien, ne connaissant qu’une partie des distances, et pour le second de construire un nuage avec la meilleure approximation des distances, avec pondération. Nous montrons comment ces méthodes peuvent être rassemblée en une même famille, chacune représentant un choix de pondérations dans un problème d’optimisation. On étudie la continuité entre ces solutions (qui sont des nuages de points), et la compacité des ensembles de solutions (après centrage). On étudie également un exemple numérique, montrant cependant que le prob- lème d’optimisation est loin d’être simple, et que la procédure d’optimisation peut facilement être piégée dans un minimum local.
Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)