On the structure of some spaces of tilings.
Résumé
We study the structure of the set of tilings of a polygon $P$ with bars of fixed length. We obtain a undirected graph connecting two tilings if one can pass from one tile to the other one by a flip (i. e a local replacement of tiles). Using algebraic tools (as tiling groups and their quotients and subgroups), we give a formula to compute the distance in this graph (i. e. the minimal number of necessary flips) between two tilings. Moreover, we prove that, for each pair (T, T') of tilings, the set \}Upsilon_{T, T' }formed from tilings which are in a path of minimal length from T to T' canonically has a structure of distributive lattice.
Nous utilisons ici l'ensemble des pavages d'un polygone P par des barres de longueur fixe. Nous obtenons un graphe non orient en reliant deux pavages si l'on peut passer de l'un à l'autre par une transformation locale appelée flip. Avec des outils algébriques ( les groupes de pavages et leurs quotients et sous groupes) , nous donnons une formule pour calculer la distance dans ce graphe (i.e. le nombre de flip nécessaires) entre deux pavages. De plus, nous prouvons que, pour toute paire ( T, T') de pavages, l'ensemble Upsilon_{T, T'} form par les pavages qui sont sur une géodésique entre T et T' est canoniquement muni d'une structure de treillis distributif.
Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)