Viscothermal models for wind musical instruments
Résumé
This work focuses on thermal and viscous effects on linear wave propagation inside a pipe. It aims at understanding the ground on which are built many dissipative propagating wave models found in the musical acoustics literature, in order to quantify, as much as possible, the underlying assumptions and model errors which are performed. The Navier-Stokes (NS) equations, which are nonlinear and expressed in the 3 dimensions of space, are the starting point of all models. Thermoviscous (or viscothermal) equations are derived from NS equations mainly after linearization and assumptions on the gas state equation. Analytical or numerical solutions to these equations can be proposed, after modifying more of less the original system. These derived models are summed-up in a global sketch of the underlying hypotheses. What is observed is that the thermal and viscous effects are mainly confined near the boundaries of the pipe, in regions called "boundary layers", whose lengths depend on the physical coefficients and the harmonic regime. These thermal and viscous effects can therefore be neglected far from the boundaries (where a standard 3D Helmholtz wave equation holds). These procedures can lead to 3D models, describing the propagation of the pressure field in all the domain or only a part of it, or 1D models, describing the propagation of the mean pressure across a pipe section. Some other 1D models are obtained from derived 3D models, and describe the propagation of the pressure near the boundary layer. The time dependancy of these derived models can be very intricate because the model derivation is done in the harmonic regime, and nonlocal operators can arise. An additional modelling step can lead to local time-domain 1D models. An assessment of some of these 3D and 1D models is proposed, aiming at a quantitative estimation of the model errors with respect to their domains of validity, and at a comparison between some models for simple geometries.
Ce travail porte sur les effets visqueux et thermiques se manifestant lors de la propagation d'ondes linéaires dans un tuyau. Il vise à comprendre le fondement sur lequel s'appuient de nombreux modèles d'ondes dissipatives courants en acoustique musicale, afin de quantifier autant que possible, les hypothèses sous jacentes et les erreurs de modèle effectuées. Les équations de Navier-Stokes (NS), qui sont non linéaires et formulées dans les trois dimensions de l'espace, forment le point de départ de tous les modèles. Les équations thermovisqueuses (ou viscothermiques) sont dérivées des équations de NS essentiellement après une étape de linéarisation et certaines hypothèses sur l'équation d'état du gaz. Des solutions analytiques ou numériques peuvent être proposées, après des modifications plus ou moins profondes du système original. Ces modèles dérivés sont résumés dans un schéma global précisant les hypothèses effectuées. Ce que l'on peut observer est que les effets thermiques et visqueux sont essentiellement confinés à proximité des bords du tuyau, dans une région abritant les "couches limites", dont la taille caractéristique dépend des coefficients physiques et du régime harmonique. Ces effets thermiques et visqueux peuvent donc être négligés loin des bords (où une équation de Helmholtz 3D standard est valide). Ces procédures peuvent mener à l'établissement de modèles 3D qui décrivent la propagation du champ de pression dans tout le domaine ou seulement une sous partie, ou de modèles 1D qui décrivent la propagation de la pression moyenne sur une section du tuyau. D'autres modèles 1D peuvent découler des modèles 3D, et décrivent la propagation de la pression au voisinage des couches limites. La dépendance en temps de ces modèles dérivés est parfois très délicate car leur dérivation est faite dans le régime harmonique, faisant apparaitre des opérateurs non locaux. Une étape supplémentaire de modélisation peut aboutir à des modèles 1D locaux en temps. Ce travail propose une évaluation de certains de ces modèles (3D et 1D), à travers une estimation quantitative des erreurs de modèles en lien avec leurs domaines de validité, ainsi qu'une comparaison entre les modèles pour des géométries simples.
Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)