Mass concentration in rescaled first order integral functionals

Concentration de masse dans des fonctionnelles intégrales d’ordre 1 rééchelonnées

Antonin Monteil (1) , Paul Pegon (2, 3)

1 LAMA - Laboratoire Analyse et de Mathématiques Appliquées
2 CEREMADE - CEntre de REcherches en MAthématiques de la DEcision
3 MOKAPLAN - Méthodes numériques pour le problème de Monge-Kantorovich et Applications en sciences sociales

We consider first order local minimization problems of the form ∫f(u,∇u) under a mass constraint ∫u=m. We prove that the minimal energy function is always concave, and that relevant rescalings of the energy, depending on a small parameter ε, Γ-converge towards the H-mass, defined for atomic measures Σᵢmᵢδxᵢ as ΣᵢH(mᵢ). We also consider Lagrangians depending on ε, as well as space-inhomogeneous Lagrangians and H-masses. Our result holds under mild assumptions on f, and covers in particular α-masses in any dimension N≥2 for exponents α above a critical threshold, and all concave H-masses in dimension N=1. Our result yields in particular the concentration of Cahn-Hilliard fluids into droplets, and is related to the approximation of branched transport by elliptic energies.

Nous considérons des problèmes de minimisation locaux d’ordre de la forme ∫f(u,∇u) sous contrainte de masse ∫u=m. Nous prouvons que la fonction d’énergie minimale est toujours concave, et que des rééchelonnements appropriés de l’énergie, dépendant d’un petit paramètre ε, Γ-convergent vers la H-masse, définie pour les mesures atomiques Σᵢmᵢδxᵢ par ΣᵢH(mᵢ). Nous considérons également des lagrangiens dépendant de ε, et des lagrangiens et H-masses spatialement inhomogènes. Notre résultat est valable sous de faibles hypothèses sur f, et couvre les α-masses en toute dimension pour des exposants α au-dessus d’un seuil critique, et toutes les H-masses concaves en dimension. Notre résultat donne en particulier la concentration des fluides de Cahn-Hilliard en gouttelettes, et est lié à l’approximation du transport branché par des énergies elliptiques.

Mots clés: Γ-convergence; semicontinuity; integral functionals; convergence of measures; concentration-compactness; Cahn-Hilliard fluids; branched transport

Domaines: Equations aux dérivées partielles [math.AP]; Mathématiques [math]; Optimisation et contrôle [math.OC]

Antonin Monteil, Paul Pegon. Mass concentration in rescaled first order integral functionals. Journal de l'École polytechnique — Mathématiques, 2024, 11, pp.42. ⟨10.5802/jep.257⟩. ⟨hal-03517074v4⟩