Estimation de la volatilité locale d'actifs financiers par une méthode d'inversion numérique
Résumé
Nous nous intéressons à un problème de calibration rencontré en finance qui consiste à identifier la volatilité locale à partir de prix d'options observés sur le marché. Nous formulons le problème sous la forme d'un problème inverse. Le problème direct (pricing), qui consiste à calculer les prix d'options en résolvant l'équation aux dérivées partielles de Dupire, est résolu par différences finies. Le problème inverse (calibration) revient ensuite à résoudre un problème d'optimisation dans lequel il s'agit de déterminer la volatilité optimale telle que les prix calculés avec cette volatilité soit le plus proche possible des prix observés sur le marché. Ce problème inverse mal posé est régularisé en paramétrant la volatilité par des splines bicubiques et en adoptant une approche multiéchelle. De plus, nous utilisons l'algorithme de Quasi-Newton (avec ou sans bornes) pour résoudre le problème d'optimisation. Notre algorithme de calibration est testé sur des donnés synthétiques (simulées par notre modèle) et sur des données réelles du marché.