Statistiques exactes et approchées sur les normales aléatoires
Résumé
Ce rapport de recherche aborde le problème de la manipulation des normales (vecteurs unitaires) et des directions (vecteurs unitaires non-orientées) aléatoires. Nous présentons dans un premier temps les méthodes de statistiques rigoureuses, en résumant la théorie de Pennec qui montre comment définir, à partir de la distance intrinsèque, les notions statistiques usuelles (moyenne, matrice de covariance, distance de Mahalanobis et loi gaussienne) sur les variétés différentielles. Ces notions étant souvent peu maniables, nous introduisons dans un deuxième temps un cadre théorique permettant de développer des méthodes statistiques approchées mais plus simples à manipuler. Nous montrons, théoriquement et expérimentalement, que ces méthodes sont robustes et que leur précision est bonne, de l'ordre de l'écart-type de la normale aléatoire traitée. Nous présentons des exemples de ces méthodes approchées, pour les normales et les rotations. Nous introduis- ons en particulier une méthode basée sur le tenseur d'une normale aléatoire, qui permet de calculer et manipuler de fa on linéaire, donc facilement, l'approximation de la moyenne et de la covariance d'une normale. Nous présentons enfin une première application de ce tenseur, l'extrapolation des normales dans un nuage de points non structurés et non-orientés issu d'une courbe ou d'une surface. Cette méthode, d'essence probabiliste, s'avère extrêmement robuste en présence de beaucoup de points aberrants. Elle est directement inspirée du tensor voting introduit de fa on heuristique par Médioni, auquel elle apporte une première explication théorique, moyennant quelques corrections. Cette approche théorique permet aussi de mieux situer les limites de la méthode et savoir quelle technique utiliser lorsqu'elles sont dépassées. Ce rapport de recherche est en fait une version préliminaire du chapitre Normales Aléatoires de la thèse de S. Granger [7].
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