Sur l'équation diophantienne $\frac{ x^n - 1}{x - 1} = y^q$, III
Résumé
Nous étudions dans ce travail l'équation du titre, introduite par Ljunggren et Nagell durant la première moitié du siècle. Nous présentons une méthode qui permet d'une part, à n fixé, de donner une borne pour q, et par ailleurs, n et q étant donnés, d'obtenir des bornes pour x et y bien plus précises que celles provenant de la théorie des formes linéaires en logarithmes. Nous montrons également comment utiliser ces bornes même lorsqu'elles sont trop grandes pour permettre une énumération exhaustive des valeurs de x possibles. En utilisant toutes ces techniques, nous sommes à même de résoudre complètement l'équation dans un bon nombre de cas, en particulier quand 5 ou 7 divise n, ou encore quand n a un diviseur premier inférieur ou égal à 23 distinct de q.