Grundy number and products of graphs

Marie Aste (1) , Frédéric Havet (1) , Claudia Linhares-Sales (2)

1 MASCOTTE - Algorithms, simulation, combinatorics and optimization for telecommunications
2 LIA - Laboratórios de PesquIsa em ComputAção

Le {\it nombre Grundy} d'un graphe $G$, noté $\Gamma (G)$, est le plus grand entier $k$ pour lequel $G$ admette une $k$-coloration {\it gloutonne}, i.e. une coloration avec $k$ couleurs obtenue en appliquant l'algorithme glouton suivant un certain ordre des sommets de $G$. Dans ce rapport, nous étudions le nombre Grundy des produits lexicographique, cartésien et direct de deux graphes en fonction des nombres Grundy de ces deux graphes. Pour le produit lexicographique, nous montrons que $\Gamma(G)\times\Gamma(H)\leq \Gamma(G[H])\leq 2^{\Gamma(G)-1}(\Gamma(H)-1)+\Gamma(G)-1$. De plus, nous montrons que si $G$ est un arbre ou $\Gamma(G)=\Delta(G)+1$, alors $\Gamma(G[H])=\Gamma(G)\times\Gamma(H)$. Nous en déduisons que pour tout $c\geq 1$, étant donné un graphe $G$, il est CoNP-Complet de décider si $\Gamma(G)\leq c\times \chi(G)$ et il est CoNP-Complet de décider si $\Gamma(G)\leq c\times \omega(G)$. A propos du produit cartésien, nous montrons qu'il n'existe aucune borne supérieure pour $\Gamma(G\square H)$ qui soit une fonction de $\Gamma(G)$ et $\Gamma(H)$. Néammoins, nous prouvons que pour tout graphe $G$ fixé, il existe une fonction $h_G$ telle que, pour tout graphe $H$, $\Gamma(G\square H)\leq h_G(\Gamma(H))$. Pour le produit direct, nous montrons que $\Gamma(G\times H)\geq \Gamma(G) +\Gamma(H)-2$ et nous construisons pour tout $k$ un graphe $G_k$ tel que $\Gamma(G_k)=2k+1$ et $\Gamma(G_k\times K_2)=3k+1$.

Domaines: Mathématique discrète [cs.DM]

Marie Aste, Frédéric Havet, Claudia Linhares-Sales. Grundy number and products of graphs. [Research Report] RR-6672, INRIA. 2008. ⟨inria-00328589⟩