Contribution à la théorie des noyaux conditionnellement définis positifs et applications
Résumé
Il est bien connu, depuis Aronszajn, qu'à tout noyau défini positif $K$, on peut associer un espace de Hilbert de fonctions, appelé espace de Hilbert à noyau reproduisant associé à $K$ (RKHS). Cette correspondance est à la base de nombreux algorithmes. Dans le cas plus général des noyaux conditionnellement positifs, le cadre théorique habituellement invoqué sont les \textit{espaces natifs}. Cependant, du fait d'une définition trop restrictive de \textit{conditionnellement défini positif}, ce cadre ne fournit pas une généralisation complète du cas défini positif. Nous proposons une définition à la fois plus naturelle et plus générale grâce à laquelle une véritable généralisation du théorème d'Aronszajn est démontrée. En substance, il établit qu'à chaque couple $(K,\mathcalP)$ tel que $K$ est $\mathcalP$-conditionnellement défini positif, il existe un unique espace semi-Hilbertien de fonctions $\mathcalH_{K,\mathcalP}$ satisfaisant une propriété de reproduction généralisée.\\ Enfin, nous vérifions que cet outil, comme les espaces natifs, conduit au même opérateur d'interpolation que celui trouvé par la méthode du krigeage et que, utilisant \textit{le théorème du représentant}, on peut identifier la solution d'un problème de régression régularisée dans un RKSHS.
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