Numerical study of a family of dissipative KdV equations

Jean-Paul Chehab (1, 2) , Georges Sadaka (1)

1 LAMFA - Laboratoire Amiénois de Mathématique Fondamentale et Appliquée
2 SIMPAF - SImulations and Modeling for PArticles and Fluids

The weak damped and forced KdV equation on the 1d Torus on $[0,L]$ have been analyzed by Ghidaglia\cite{Gh1,Gh2} Goubet\cite{G,GR}, Rosa and Cabral \cite{cabral-rosa} and asymptotic regularization effects have been proven and observed numerically. In this work, we consider a family of dampings that can be even weaker, particularly it can dissipate very few the high frequencies. We give here numerical evidences that point out dissipation of energy, regularization effect, and presence of special solutions that characterize a non trivial dynamics (steady states, time periodic solutions).

Le comportement pour les grands temps de l'équation de KdV forcée et faiblement amortie sur le tore $[0,L]$ a été étudiée par Ghidaglia et Goubet qui ont prouvé l'effet régularisant asymptotique du flot ; Rosa et Cabral ont mis en évidence numériquement une dynamique non triviale. Dans ce travail, nous introduisons une famille d'amortissement permettant de dissiper plus faiblement encore. Nous établissons la dissipation de l'énergie et illustrons numériquement un effet de régularisation asymptotique ainsi que la présence de solutions spéciales (solutions stationnaires, solutions périodiques en temps).

Domaines: Analyse numérique [math.NA]

Jean-Paul Chehab, Georges Sadaka. Numerical study of a family of dissipative KdV equations. [Technical Report] 2011, pp.77. ⟨inria-00529227v2⟩