Constructive Mayer-Vietoris Algorithm: Computing the Homology of Unions of Simplicial Complexes

Dobrina Boltcheva (1) , Sara Merino Aceitunos (1) , Jean-Claude Léon (1, 2) , Franck Hétroy (1)

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2 G-SCOP_SIREP - Système d’Information, conception RobustE des Produits

In this research report, we present an efficient method for computing the homology of a large simplicial complex from the homologies of its sub-complexes. The method uses a constructive version of the Mayer-Vietoris exact sequence which is an algebraic tool relating the homology of a topological space to the homologies of its sub-spaces and their intersection. The method starts by decomposing the input simplicial complex into smaller sub-complexes, for which the homology is computable with the Smith Normal Form reduction algorithm. Then, the method uses the Mayer-Vietoris sequence on the decomposition graph and computes the homology of the input complex by recursive unions of the homological attributes of the sub-complexes. The proposed method outputs all homological attributes (Betti numbers, torsion coefficients and generators) and may be applied to any kind of finite simplicial complexes (manifold/non-manifold, orientable or not, embeddable or not, with heterogeneous dimensionality, etc.)

Dans ce rapport, nous présentons une méthode efficace pour le calcul de l'homologie d'un complexe simplicial, à partir des homologies de ses sous-complexes. La méthode est basée sur une version constructive de la séquence exacte de Mayer-Vietoris qui est un outil algébrique permettant de trouver l'homologie de l'union de deux espaces topologiques, à partir de l'homologie de leur somme directe et de leur intersection. La méthode commence par décomposer le complexe simplicial 3D en sous-complexes pour lesquels l'homologie est plus facile à calculer par la réduction de Smith. Ensuite, l'algorithme parcourt le graphe de la décomposition et utilise la séquence de Mayer-Vietoris pour calculer l'homologie du complexe initial par unions récursives des attributs homologiques de ses sous-complexes. La méthode fournit tous les attributs homologiques (nombres de Betti, coefficients de torsion et générateurs) et peut être appliquée à tout type de complexes simpliciaux fini (variété/non-variété, orientable/non-orientable, plongeable ou non, muilt-dimensionalité, etc).

Mots clés: Générateurs; Homologie constructive; Séquence exacte de Mayer-Vietoris; Complexe simplicial; Algorithme

Domaines: Topologie algébrique [math.AT]; Géométrie algorithmique [cs.CG]

Dobrina Boltcheva, Sara Merino Aceitunos, Jean-Claude Léon, Franck Hétroy. Constructive Mayer-Vietoris Algorithm: Computing the Homology of Unions of Simplicial Complexes. [Research Report] RR-7471, INRIA. 2010. ⟨inria-00542717⟩