A semi-intrusive deterministic approach to uncertainty quantifications in non-linear fluid flow problems

Remi Abgrall (1, 2) , Pietro Marco Congedo (1)

1 BACCHUS - Parallel tools for Numerical Algorithms and Resolution of essentially Hyperbolic problems
2 IMB - Institut de Mathématiques de Bordeaux

This paper deals with the formulation of a semi-intrusive (SI) method allowing the computation of statistics of linear and non linear PDEs solutions. This method shows to be very efficient to deal with probability density function of whatsoever form, long-term integration and discontinuities in stochastic space. Given a stochastic PDE where randomness is defined on $\Omega$, starting from (i) a description of the solution in term of a space variables, (ii) a numerical scheme defined for any event $\omega\in \Omega$ and (iii) a (family) of random variables that may be correlated, the solution is numerically described by its conditional expectancies of point values or cell averages and its evaluation constructed from the deterministic scheme. One of the tools is a tessellation of the random space as in finite volume methods for the space variables. Then, using these conditional expectancies and the geometrical description of the tessellation, a piecewise polynomial approximation in the random variables is computed using a reconstruction method that is standard for high order finite volume space, except that the measure is no longer the standard Lebesgue measure but the probability measure. This reconstruction is then used to formulate a scheme on the numerical approximation of the solution from the deterministic scheme. This new approach is said semi-intrusive because it requires only a limited amount of modification in a deterministic solver to quantify uncertainty on the state when the solver includes uncertain variables. The effectiveness of this method is illustrated for a modified version of Kraichnan-Orszag three-mode problem where a discontinuous pdf is associated to the stochastic variable, and for a nozzle flow with shocks. The results have been analyzed in terms of accuracy and probability measure flexibility. Finally, the importance of the probabilistic reconstruction in the stochastic space is shown up on an example where the exact solution is computable, %in the resolution of the viscous Burgers equation.

Ce rapport propose une approche semi-intrusive permettant le calcul de paramètres statistiques pour des EDP linéaire ou non linéaire. Cette méthode permet de considérer très efficacement des densités de probabilité de tout type, des simulation en temps long ou encore des variables aléatoires à valeurs discontinues. Le principe de la méthode est le suivant. Etant donné un espace $\Omega$ où vit l'aléa, partant (i) d'une description des variables dans l'espace physique, (ii) une méthode numérique permettant d'approcher le problème continu pour tout aléa $\omega\in \Omega$ et (iii) une famille de variable aléatoire, pouvant être corrélées, la solution est décrite par les espérances conditionnelles des valeurs ponctuelles où des valeurs moyennes dans des cellules de contrôle et de leur évaluation à partir du schéma déterministe. Le rapport décrit et analyse plusieurs façons de procéder, et valide l'approche sur des exemples pour lesquelles d'autres approches plus classiques ont pu rencontrer des difficultés: le problème de Kraichnan Orszag, une tuyère avec choc, un exemple où la solution exacte est calculable afin de quantifier l'erreur et enfin un problème bidimensionnel de mécanique des fluides.

Domaines: Milieux fluides et réactifs; Analyse numérique [math.NA]

Remi Abgrall, Pietro Marco Congedo. A semi-intrusive deterministic approach to uncertainty quantifications in non-linear fluid flow problems. [Research Report] RR-7820, INRIA. 2011, pp.26. ⟨inria-00632842v2⟩