Problèmes mathématiques liés à la modélisation des solides à différentes échelles
Résumé
We investigate in this thesis various mathematical problems in solid-state modelling, at the atomic scale as well as the macroscopic one. The models we use here are highly simplified (compared to standard quantum models), but exhibit acceptable qualitative behaviours. In addition, their simplicity allows one to go further in their rigourous mathematical analysis.
The first part (chapters 2, 3, 4) is devoted to the study of the origin of crystalline symmetry. This problem may be stated as follows: do the models we study here account for the fact that at zero temperature, matter is ordered? or, equivalently, does the ground state of N identical atoms converge to some periodic structure as N goes to infinity? This kind of problem is related to the problem of thermodynamic limit, which is studied here in some particular cases.
In a second part, we study the case when matter does not show any order: if the system is periodic, the definition of its energy for the models we use here is possible through the thermodynamic limit process. We study it in the case when the system is not periodic, and give general hypotheses allowing to carry out the corresponding study.
In chapters 6 and 7, we study the possible link between these microscopic models and macroscopic solid-state theories, for mechanical features in the first case, and for electrostatic ones in the second. Finally, the last chapter presents numerical technics in use in the modelling of electronic structure in solids.
The first part (chapters 2, 3, 4) is devoted to the study of the origin of crystalline symmetry. This problem may be stated as follows: do the models we study here account for the fact that at zero temperature, matter is ordered? or, equivalently, does the ground state of N identical atoms converge to some periodic structure as N goes to infinity? This kind of problem is related to the problem of thermodynamic limit, which is studied here in some particular cases.
In a second part, we study the case when matter does not show any order: if the system is periodic, the definition of its energy for the models we use here is possible through the thermodynamic limit process. We study it in the case when the system is not periodic, and give general hypotheses allowing to carry out the corresponding study.
In chapters 6 and 7, we study the possible link between these microscopic models and macroscopic solid-state theories, for mechanical features in the first case, and for electrostatic ones in the second. Finally, the last chapter presents numerical technics in use in the modelling of electronic structure in solids.
Cette thèse présente l'étude de divers problèmes mathématiques en modélisation des solides, tant à l'échelle atomique qu'à l'échelle macroscopique. Les modèles correspondants sont très simplifiés, mais présentent tout de même des comportements qualitatifs acceptables, et permettent, du fait de leur simplicité, de pousser l'analyse mathématique plus loin que dans le cas de modèles plus réalistes.
Une première partie (chapitres 2,3,4) est consacrée à l'étude de l'origine de la structure cristalline. Ce problème peut être posé de la façon suivante : les modèles étudiés ici rendent-ils compte du fait qu'à température nulle, la matière est ordonnée ? ou, de façon équivalente, l'état de minimum d'énergie de N atomes identiques ressemble-t-il, pour N grand, à une structure périodique ? Ce type de problème est relié au problème de limite thermodynamique, dont certains aspects sont également étudiés ici.
Dans un deuxième temps, nous étudions au chapitre 5 le cas où précisément, la matière n'est pas ordonnée : dans le cas d'un système périodique, il est possible de définir l'énergie du système pour les modèles utilisés ici par le processus de limite thermodynamique. Nous étudions ce même processus dans un cas non-périodique, donnant des hypothèses générales qui permettent de mener à bien une telle étude.
Les chapitres 6 et 7 sont consacrés à l'étude du lien possible entres des théories macroscopiques des solides et ces modèles microscopiques, le premier dans le cas de comportements mécaniques, le deuxième dans le cas du comportement en présence d'un champ électrique.
Enfin, le dernier chapitre présente une brève introduction à certaines techniques utilisées en numérique des solides, pour des modèles beaucoup plus élaborés que ceux des chapitres précédents.
Une première partie (chapitres 2,3,4) est consacrée à l'étude de l'origine de la structure cristalline. Ce problème peut être posé de la façon suivante : les modèles étudiés ici rendent-ils compte du fait qu'à température nulle, la matière est ordonnée ? ou, de façon équivalente, l'état de minimum d'énergie de N atomes identiques ressemble-t-il, pour N grand, à une structure périodique ? Ce type de problème est relié au problème de limite thermodynamique, dont certains aspects sont également étudiés ici.
Dans un deuxième temps, nous étudions au chapitre 5 le cas où précisément, la matière n'est pas ordonnée : dans le cas d'un système périodique, il est possible de définir l'énergie du système pour les modèles utilisés ici par le processus de limite thermodynamique. Nous étudions ce même processus dans un cas non-périodique, donnant des hypothèses générales qui permettent de mener à bien une telle étude.
Les chapitres 6 et 7 sont consacrés à l'étude du lien possible entres des théories macroscopiques des solides et ces modèles microscopiques, le premier dans le cas de comportements mécaniques, le deuxième dans le cas du comportement en présence d'un champ électrique.
Enfin, le dernier chapitre présente une brève introduction à certaines techniques utilisées en numérique des solides, pour des modèles beaucoup plus élaborés que ceux des chapitres précédents.