Analyticité et algébricité d'applications de Cauchy-Riemann
Résumé
This work concerns the analyticity and the algebraicity of smooth Cauchy-Riemann (CR) mappings between real analytic or real algebraic CR manifolds. There has been recently a renewed activity in this subject, which deals with the extension properties of mappings. Our contribution essentially concerns the study of the non-equidimensional situation and the investigation of the case of higher codimension. In the first part of this thesis, we consider the question of the algebraicity of a local holomorphic mapping f sending a minimal generic real algebraic submanifold M of Cn, n > 1, into a real algebraic subset M' of Cn'. This problem was initiated by the work of Poincaré (1907), and more recently of Webster (1977). The introduction of "characteristic varieties" associated to both the sets M and M' and the mapping f allows us to give two new conditions for the algebraicity of f. In the second part of this thesis, we study the problem of the analyticity of a smooth CR mapping f : M -> M' between a minimal generic real analytic submanifold M of Cn, n>1, and a real analytic subset M' of Cn'. We establish a generalization of the Lewy-Pinchuk reflection principle (1975-77) and we prove that if the characteristic variety if of dimension zero, then f is real analytic. In the third part of this thesis, we deal with the more general situation when the characteristic variety if of arbitrary dimension. We prove that if M' does not contain any complex curves, then f is analytic on a dense open subset of M. More generally, we establish an upper estimate of the partial analyticity of f, which depends on the maximal dimension of local holomorphic foliations contained in M'.
Le travail présenté dans cette thèse concerne l'analyticité et l'algébricité d'applications de Cauchy-Riemann (CR) lisse entre variétés CR analytiques ou algébriques réelles. Ce sujet a trait aux propriétés de prolongement d'applications et a récemment connu un regain d'activité. Notre contribution porte principalement sur l'étude du cas non équidimensionnel et sur le passage à la codimension supérieure à un. Dans la première partie de la thèse, nous considérons la question de l'algébricité d'une application holomorphe locale f envoyant une sous-variété algébrique réelle générique minimale M de Cn, n > 1, dans un sous-ensemble algébrique réel M' de Cn'. Ce problème a pour origine les travaux de Poincaré (1907), et plus récemment de Webster (1977). L'introduction de "variétés caractéristiques" associées à la fois aux ensembles M et M' et à l'application f nous permet de donner deux nouvelles conditions pour que f soit algébrique. Dans la deuxième partie de la thèse, nous étudions le problème de l'analyticité d'une application CR lisse f : M -> M' entre une sous-variété analytique réelle générique minimale M de Cn, n>1, et un sous-ensemble analytique réel M' de Cn'. Nous établissons une généralisation du principe de réflexion de Lewy-Pinchuk (1975-77) et prouvons que si la variété caractéristique est de dimension zéro, f est analytique réelle. Dans la troisième partie de la thèse, nous traitons la situation plus générale où la variété caractéristique est de dimension arbitraire. Nous démontrons que si M' ne contient pas de courbe complexe, f est analytique sur un ouvert dense de M. Plus généralement, nous établissons une estimation supérieure de l'analyticité partielle de f, en fonction de la dimension maximale des feuilletages holomorphes locaux contenus dans M'.
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