Stabilité et filtration de Harder-Narasimhan
Résumé
Introduced on algebraic manifolds, the notion of stability has been generalized to the case of Kähler manifolds and then to any compact complex manifold using Gauduchon's metrics. The behavior of non semi-stable fiber bundles (or coherent sheaves) had only been studied in the algebraic case and had been described by means of the notion of Harder-Narasimhan filtration (HNF). In the present work, we carry on with this study for any compact complex (possibly non Kähler) manifold. For any complex vector bundle, we prove the existence of a subsheaf of maximal degree. This subsheaf arises as a limit in the sense of ``weakly holomorphic subbundles''. This notion was first introduced by Uhlenbeck and Yau in their study of the Kobayashi-Hitchin correspondence and actually provides us with ``the good notion'' of convergence. In this context, we prove the existence of a HNF. We then generalize these results to the case of torsion-free coherent sheaves, which leads to important convergence questions resulting from the non compactness of the basis (the set where the sheaf is locally free). We also show how to apply these methods to families of fiber bundles (or flat families of torsion-free sheaves) over a deformation of compact complex manifolds to get existence theorems for limit subsheaves similar to Bishop's theorem. By the same, we get a new proof of the openness property of the stability in deformation. This proof does not use the difficult Kobayashi-Hitchin correspondance. In a second part, we study simplicity and stability conditions for the tangent bundle of a compact complex surface of the class $VII$. In particular, we obtain an example of deformation of a surface with global spherical shell illustrating the non openness of the non semi-stability property in deformation.
Née sur les variétés algébriques, la notion de stabilité s'est ensuite généralisée aux variétés kähleriennes, puis, au variétés holomorphes compactes grâce à l'utilisation des métriques de Gauduchon. L'étude du comportement des fibrés (ou des faisceaux) non semi-stables n'a été faite de façon complète que dans le cas algébrique à travers la notion de filtration de Harder-Narasimhan (FHN). Nous poursuivons ici cette étude pour des variétés holomorphes compactes quelconques. Nous montrons qu'il est possible de définir le sous-faisceau de pente maximale d'un fibré vectoriel complexe. Ce sous-faisceau est obtenu comme limite au sens des sous-fibrés holomorphes faibles, notion déjà utilisée par Uhlenbeck et Yau pour la correspondance de Kobayashi-Hitchin, qui nous donne ici ``la bonne notion de convergence''. Nous démontrons l'existence d'une FHN dans ce cadre. Nous généralisons ensuite le résultat aux faisceaux cohérents sans-torsion. On est alors confronté à des problèmes de convergence liés à la non compacité de la base (lieu où le faisceau est localement libre). Nous montrons ensuite comment ces méthodes s'appliquent à une famille de fibrés (ou une famille plate de faisceaux sans-torsion) définie sur une déformation de variété holomorphe compacte pour obtenir des résultats d'existence de sous-faisceaux limites de type Bishop. On obtient par là-même une nouvelle démonstration de l'ouverture de la stabilité en déformation qui n'utilise pas la difficile correspondance de Kobayashi-Hitchin. Dans une deuxième partie, nous donnons des conditions équivalentes de simplicité et de stabilité pour les fibrés tangents des surfaces holomorphes compactes de la classe $VII$. Nous obtenons, en particulier, un exemple de déformation de surface à coquille sphérique globale qui illustre la non ouverture de la non semi-stabilité en déformation.
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