Stability of nonsmooth dynamical systems, application to walking robots
Stabilité des systèmes dynamiques non-réguliers, application aux robots marcheurs
Résumé
Originating in the analysis of non permanent contact between perfectly
rigid bodies, the mathematical analysis of nonsmooth Lagrangian
dynamical systems concerns Lagrangian dynamical systems with
coordinates constrained to stay inside some closed sets, what leads to
introduce mathematical tools which are unusual in control theory,
velocities with locally bounded variations, measure accelerations,
measure differential inclusions to name a few. The control theory for
such dynamical systems is just beginning to appear and even the basic
Lyapunov stability theory still needs to be stated.
In this work we thus propose to establish some first bases for the
Lyapunov stability analysis of the nonsmooth dynamical systems. We
will see that it is possible, provided some additional assumptions, to
extend some classical results. We will propose for example a Lyapunov
stability theorem and an extension of the LaSalle theorem for
dynamical systems described by flows which can undergo
discontinuities.
Building on these theorems, we then propose a Lagrange-Dirichlet
theorem for nonsmooth Lagrangian dynamical systems by showing that
their energy can be naturally taken as Lyapunov functions. Based on
these results we are then able to prove the stability of simple
control laws for the position and force regulation of a robotic
manipulator and a walking robot without any assumptions on the state
of the contacts. We will also underline the interest of a passivity
based control law for nonsmooth lagrangian dynamical systems.
rigid bodies, the mathematical analysis of nonsmooth Lagrangian
dynamical systems concerns Lagrangian dynamical systems with
coordinates constrained to stay inside some closed sets, what leads to
introduce mathematical tools which are unusual in control theory,
velocities with locally bounded variations, measure accelerations,
measure differential inclusions to name a few. The control theory for
such dynamical systems is just beginning to appear and even the basic
Lyapunov stability theory still needs to be stated.
In this work we thus propose to establish some first bases for the
Lyapunov stability analysis of the nonsmooth dynamical systems. We
will see that it is possible, provided some additional assumptions, to
extend some classical results. We will propose for example a Lyapunov
stability theorem and an extension of the LaSalle theorem for
dynamical systems described by flows which can undergo
discontinuities.
Building on these theorems, we then propose a Lagrange-Dirichlet
theorem for nonsmooth Lagrangian dynamical systems by showing that
their energy can be naturally taken as Lyapunov functions. Based on
these results we are then able to prove the stability of simple
control laws for the position and force regulation of a robotic
manipulator and a walking robot without any assumptions on the state
of the contacts. We will also underline the interest of a passivity
based control law for nonsmooth lagrangian dynamical systems.
Le cadre des systèmes dynamiques lagrangiens non-réguliers est issu de
l'analyse des contacts non-permanents entre des solides parfaitement
rigides. Il nous amène à travailler avec des outils mathématiques
inhabituels en automatique, comme des vitesses à variations localement
bornées, ou des équations différentielles de mesures. L'automatique de
ces systèmes dynamiques commence tout juste à apparaître et les
théories élémentaires, comme celle de la stabilité au sens de
Lyapunov, nécessitent encore d'être établies.
Dans ce travail nous proposons donc d'établir les premières bases
permettant l'analyse de la stabilité des systèmes dynamiques
non-réguliers. Nous montrons qu'il est possible, sous réserve parfois
d'hypothèses supplémentaires, d'étendre certains résultats classiques.
Nous proposons par exemple un théorème de stabilité au sens de
Lyapunov et une extension du théorème de LaSalle pour des systèmes
dynamiques décrits par des flots pouvant subir des discontinuités.
Dans la cas des systèmes dynamiques lagrangiens non-réguliers, ces
résultats de stabilité peuvent s'écrire sous la forme d'un théorème de
Lagrange-Dirichlet, en montrant que leur énergie correspond
naturellement à une fonction de Lyapunov. Ces résultats sont ensuite
appliqués pour l'étude de la stabilité d'une régulation en position et
en force d'un bras manipulateur et d'un robot marcheur sans aucune
supposition sur l'état des contacts. Nous soulignons également
l'intérêt des commandes basées sur la passivité pour les systèmes
dynamiques lagrangiens non-réguliers
l'analyse des contacts non-permanents entre des solides parfaitement
rigides. Il nous amène à travailler avec des outils mathématiques
inhabituels en automatique, comme des vitesses à variations localement
bornées, ou des équations différentielles de mesures. L'automatique de
ces systèmes dynamiques commence tout juste à apparaître et les
théories élémentaires, comme celle de la stabilité au sens de
Lyapunov, nécessitent encore d'être établies.
Dans ce travail nous proposons donc d'établir les premières bases
permettant l'analyse de la stabilité des systèmes dynamiques
non-réguliers. Nous montrons qu'il est possible, sous réserve parfois
d'hypothèses supplémentaires, d'étendre certains résultats classiques.
Nous proposons par exemple un théorème de stabilité au sens de
Lyapunov et une extension du théorème de LaSalle pour des systèmes
dynamiques décrits par des flots pouvant subir des discontinuités.
Dans la cas des systèmes dynamiques lagrangiens non-réguliers, ces
résultats de stabilité peuvent s'écrire sous la forme d'un théorème de
Lagrange-Dirichlet, en montrant que leur énergie correspond
naturellement à une fonction de Lyapunov. Ces résultats sont ensuite
appliqués pour l'étude de la stabilité d'une régulation en position et
en force d'un bras manipulateur et d'un robot marcheur sans aucune
supposition sur l'état des contacts. Nous soulignons également
l'intérêt des commandes basées sur la passivité pour les systèmes
dynamiques lagrangiens non-réguliers