Algebraic rewriting in systems of polynomial differential equations with a view towards applications in life sciences
Réécriture algébrique dans les systèmes d'équations différentielles
polynomiales en vue d'applications dans les Sciences du Vivant
Résumé
La réécriture algébrique dans les systèmes d'équations
différentielles polynomiales consiste à transformer
un système d'équations polynomiales différentielles
ordinaires ou aux dérivées partielles en un système
équivalent, uniquement par manipulations symboliques,
sans essayer ni de résoudre les équations sous forme close ni
de les intégrer numériquement. Plusieurs algorithmes dédiés à
ce domaine ont été mis au point ces quinze dernières années
dans l'équipe « calcul formel » du LIFL, dont « Rosenfeld-Gröbner »,
que j'ai inventé en 1994 lors de ma thèse de troisième cycle et qui
constitue le coeur du paquetage MAPLE diffalg.
Le mémoire résume l'activité de recherche que j'ai menée depuis dix ans, soit
directement soit en collaboration : approfondir la théorie sous-jacente de
l'élimination en algèbre différentielle, lui chercher des applications et
la diffuser auprès des scientifiques non spécialistes.
Le lecteur trouvera dans le mémoire des approfondissements théoriques
sur la notion de solution d'un système différentiel polynomial
(théorème de François Lemaire) et la notion de « chaîne différentielle
régulière » (leur équidimensionnalité en particulier).
Plusieurs nouveaux algorithmes sont présentés : « PARDI » (un cas particulier
de Rosenfeld-Gröbner mieux adapté à plusieurs applications),
un algorithme de changement d'ordre inspiré de FGLM fondé sur les
différentielles de Kähler, « reg-characteristic » et « regalise » qui
évitent le recours aux bases de Gröbner dans la deuxième partie de
« Rosenfeld-Gröbner ». Ce dernier est clarifié et optimisé.
L'équipe « calcul formel » fait partie de l'Institut de Recherche
Interdisciplinaire. Les deux applications présentées relèvent
des Sciences du Vivant. Elles sont toutes deux menées en collaboration.
Il s'agit d'estimation de paramètres (projet LÉPISME avec Lilianne Denis-Vidal
et Ghislaine Joly-Blanchard (UTC)) et de modélisation du cycle cellulaire
de l'algue verte « ostreococcus tauri » (François-Yves Bouget (Banyuls),
Marc Lefranc (Phlam)).
Diffuser l'élimination différentielle exige de produire des composants
logiciels simples d'emploi. Le mémoire évoque rapidement le paquetage
diffalg de MAPLE (interactif, 1996). Il insiste sur BLAD (bibliothèques
en langage C, destinées à préparer le travail des intégrateurs numériques)
qui a demandé un investissement de plusieurs années. Diffuser l'élimination
différentielle exige de produire aussi des documents pédagogiques. Le mémoire
lui-même constitue une tentative en ce sens.
différentielles polynomiales consiste à transformer
un système d'équations polynomiales différentielles
ordinaires ou aux dérivées partielles en un système
équivalent, uniquement par manipulations symboliques,
sans essayer ni de résoudre les équations sous forme close ni
de les intégrer numériquement. Plusieurs algorithmes dédiés à
ce domaine ont été mis au point ces quinze dernières années
dans l'équipe « calcul formel » du LIFL, dont « Rosenfeld-Gröbner »,
que j'ai inventé en 1994 lors de ma thèse de troisième cycle et qui
constitue le coeur du paquetage MAPLE diffalg.
Le mémoire résume l'activité de recherche que j'ai menée depuis dix ans, soit
directement soit en collaboration : approfondir la théorie sous-jacente de
l'élimination en algèbre différentielle, lui chercher des applications et
la diffuser auprès des scientifiques non spécialistes.
Le lecteur trouvera dans le mémoire des approfondissements théoriques
sur la notion de solution d'un système différentiel polynomial
(théorème de François Lemaire) et la notion de « chaîne différentielle
régulière » (leur équidimensionnalité en particulier).
Plusieurs nouveaux algorithmes sont présentés : « PARDI » (un cas particulier
de Rosenfeld-Gröbner mieux adapté à plusieurs applications),
un algorithme de changement d'ordre inspiré de FGLM fondé sur les
différentielles de Kähler, « reg-characteristic » et « regalise » qui
évitent le recours aux bases de Gröbner dans la deuxième partie de
« Rosenfeld-Gröbner ». Ce dernier est clarifié et optimisé.
L'équipe « calcul formel » fait partie de l'Institut de Recherche
Interdisciplinaire. Les deux applications présentées relèvent
des Sciences du Vivant. Elles sont toutes deux menées en collaboration.
Il s'agit d'estimation de paramètres (projet LÉPISME avec Lilianne Denis-Vidal
et Ghislaine Joly-Blanchard (UTC)) et de modélisation du cycle cellulaire
de l'algue verte « ostreococcus tauri » (François-Yves Bouget (Banyuls),
Marc Lefranc (Phlam)).
Diffuser l'élimination différentielle exige de produire des composants
logiciels simples d'emploi. Le mémoire évoque rapidement le paquetage
diffalg de MAPLE (interactif, 1996). Il insiste sur BLAD (bibliothèques
en langage C, destinées à préparer le travail des intégrateurs numériques)
qui a demandé un investissement de plusieurs années. Diffuser l'élimination
différentielle exige de produire aussi des documents pédagogiques. Le mémoire
lui-même constitue une tentative en ce sens.