Algebraic Methods for Geometric Modeling
Méthodes algébriques pour la modélisation géometrique
Résumé
The two fields of algebraic geometry and algorithmic geometry, though closely related, are traditionally represented by almost disjoint communities. Both fields deal with curves or surfaces but objects are represented in different ways. While algebraic geometry defines objects by the mean of equations, algorithmic geometry use to work with linear models. The current trend is to apply algorithmic geometry algorithms to non linear models such as those found in algebraic geometry. Such algorithms play an important role in many practical fields such as Computer Aided Geometric Design. Their use raises important questions when it comes to developing software featuring such models. First, the manipulation of their representation implies the use of symbolic numeric computations which still represent one ma jor research interest. Second, their visualization and manipulation is not straightforward because of their abstract nature.
The first part of this thesis covers the use of algebraic methods in geometric modeling, with an emphasis on topology, intersection and self-intersection for arrangement computation of semi-algebraic sets with either implicit or parametric representation. Special care is given to the genericity of the algorithms which can be specified whatever the context, and then specialized to meet specific representation requirements.
The second part of this thesis presents a prototype of an algebraic geometric modeling environment which aim is to provide a generic yet efficient way to model with algebraic geometric ob jects such as implicit or parametric curves or surfaces, both from a user or developer point of view, by using symbolic numeric computational libraries as a backend for the manipulation of the polynomials defining the geometric ob jects.
The first part of this thesis covers the use of algebraic methods in geometric modeling, with an emphasis on topology, intersection and self-intersection for arrangement computation of semi-algebraic sets with either implicit or parametric representation. Special care is given to the genericity of the algorithms which can be specified whatever the context, and then specialized to meet specific representation requirements.
The second part of this thesis presents a prototype of an algebraic geometric modeling environment which aim is to provide a generic yet efficient way to model with algebraic geometric ob jects such as implicit or parametric curves or surfaces, both from a user or developer point of view, by using symbolic numeric computational libraries as a backend for the manipulation of the polynomials defining the geometric ob jects.
Les domaines de géométrie algébrique et de géométrie algorithmique, bien qu'étroitement liés, sont traditionnellement représentés par des communautés de recherche disjointes. Chacune d'entre elles utilisent des courbes et surfaces, mais représentent les objets de différentes manières. Alors que la géométrie algébrique définit les objets par le biais d'équations polynomiales, la géométrie algorithmique a pour habitude de manipuler des modèles linéaires. La tendance actuelle est d'appliquer les algorithmes traditionnels de géométrie algorithmique sur des modèles non linéaires tels que ceux trouvés en géométrie algébrique. De tels algorithmes jouent un rôle important dans de nombreux champs d'application tels que la Conception Assistée par Ordinateur. Leur utilisation soulève d'importantes questions en matière de développement logiciel. Tout d'abord, la manipulation de leur représentation implique l'utilisation de calculs symboliques numériques qui représentent toujours un domaine de recherche majeur. Deuxièmement, leur visualisation et leur manipulation n'est pas évidente, en raison de leur caractère abstrait.
La première partie de cette thèse porte sur l'utilisation de méthodes algébriques en modélisation géométrique, l'accent étant mis sur la topologie, l'intersection et l'auto-intersection dans le cadre du calcul d'arrangement d'ensembles semi-algébriques comme les courbes et surfaces à représentation implicite ou paramétrique. Une attention particulière est portée à la généricité des algorithmes qui peuvent être spécifiés quel que soit le contexte, puis spécialisés pour répondre aux exigences d'une certaine représentation.
La seconde partie de cette thèse présente le prototypage d'un environnement de modélisation géométrique dont le but est de fournir un moyen générique et efficace pour modéliser des solides à partir d'objets géométriques à re\-pré\-sen\-ta\-tion algébrique tels que les courbes et surfaces implicites ou paramétriques, à la fois d'un point de vue utilisateur et d'un point de vue de développeur, par l'utilisation de librairies de calcul symbolique numérique pour la
manipulation des polynômes définissant les objets géométriques.
La première partie de cette thèse porte sur l'utilisation de méthodes algébriques en modélisation géométrique, l'accent étant mis sur la topologie, l'intersection et l'auto-intersection dans le cadre du calcul d'arrangement d'ensembles semi-algébriques comme les courbes et surfaces à représentation implicite ou paramétrique. Une attention particulière est portée à la généricité des algorithmes qui peuvent être spécifiés quel que soit le contexte, puis spécialisés pour répondre aux exigences d'une certaine représentation.
La seconde partie de cette thèse présente le prototypage d'un environnement de modélisation géométrique dont le but est de fournir un moyen générique et efficace pour modéliser des solides à partir d'objets géométriques à re\-pré\-sen\-ta\-tion algébrique tels que les courbes et surfaces implicites ou paramétriques, à la fois d'un point de vue utilisateur et d'un point de vue de développeur, par l'utilisation de librairies de calcul symbolique numérique pour la
manipulation des polynômes définissant les objets géométriques.
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