Mathematical modeling of the dynamic of malaria transmission
Modélisation mathématique de la dynamique de la transmission du paludisme
Résumé
The main purpose of this thesis is to formulate a deterministic mathematical models for the transmission of malaria. In a first part, we formulate a model that considers two host types in the human population. The first type is called ”non-immune” comprising all humans who have never acquired immunity against malaria and the second type is called ”semi-immune”. Non-immune are divided into sensible, exposed and infectious and semi-immune are divided into sensible, exposed, infectious and immune. We obtain an explicit formula for the reproductive number, R0 which is the square root of the sum of the square of the weight of the transmission semi-immune-mosquito-semi-immune, R0a; and the weight of the transmission nonimmune- mosquito-non-immune, R0e: Then we study the existence of endemic equilibria by using bifurcation analysis. We give a simple criterion when R0 crosses one for forward and backward bifurcation. We explore the possibility of a control for malaria through a specific sub-group such as non-immune or semi-immune or mosquitoes. In a second part, we formulate a model to study the spatial spread of malaria using metapopulation theory. Thus, we subdivide the space into n small geographical regions, the so-called patches. In each patch i, i = 1; : : : ; n we simplify the first model by dividing the human population into three subclasses : sensible, infectious and immune. We also subdivide the mosquito population into two classes : sensible and infectious. We model the spread of malaria between the n patches via the migration of humans by a system of 5n differential equations ordinary. We analyse the model by identifying the spatial infection reservoir. We use this model to analysis malaria transmission due to the movement of humain from rural into urban areas, colonization of new territory, intercontinental travel and rural malaria.
Le but principal de cette thèse est de développer un modèle mathématiques déterministes pour décrire la dynamique de transmission du paludisme. Dans une première partie, nous formulons un modèle qui considère deux types d'hôtes dans la population humaine. Le premier appelé ”non-immun” regroupant tous les humains qui n'ont jamais acquis une immunité contre le paludisme et le second appelé ”semiimmun” regroupe ceux qui ont au moins acquis une certaine immunité même s'ils l'ont perdue. Les non-immuns sont subdivisés en sensibles, latents et infectieux et les semiimmuns sont subdivisés en sensibles, latents, infectieux et immuns. Nous obtenons une formule explicite du nombre de reproduction, R0 qui a été défini comme la racine carré de la somme des carrés du poids de transmission semi-immun-moustique-non-immun, R0a; et du poids de transmission non-immun-moustique-non-immun, R0e: Ainsi, nous étudions l'existence d'équilibre endémique en utilisant l'analyse de la bifurcation. Nous donnons un simple critère pour l'obtention d'équilibre lorsque R0 rencontre 1 pour la bifurcation forward et backward. Nous explorons la possibilité de contrôle du paludisme à travers un sous-groupe spécifique tels que les non-immuns, semi-immuns ou les moustiques. Dans une deuxième partie, nous formulons un modèle pour étudier la propagation spatio-temporelle du paludisme en utilisant la théorie des métapopulations. Ainsi, nous subdivisons l'espace en n petites régions géographiques appelées patches. Dans chaque patch i, i = 1; : : : ; n; nous simplifions le premier modèle mais en mettant en évidence les immuns qui représentent les porteurs asymptotiques. Ainsi, nous divisons la population humaine en trois classes : sensibles, infectieux et immuns. Nous subdivisons aussi la population de moustiques en deux classes : sensibles et infectieux. La propagation du paludisme d'un patch à un autre à travers la mobilité des humains est modélisée par un système de 5n équations différentielles ordinaires. Nous analysons le modèle en identifiant les réservoirs d'infection spatiale et étudions par la suite la transmission du paludisme due aux mouvements des humains d'une zone rurale vers une zone urbaine, la colonisation de nouveaux territoires et le voyage intercontinental. Ce dernier modèle nous permet de proposer un algorithme de contrôle du paludisme aux décideurs en matière de santé publique.
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