Formal Verifcation for Numerical Methods
Vérification formelle pour les méthodes numériques
Résumé
We analyzed Newton's method which is a numerical method widely used for approximating solutions of equations or systems of equations. The goal was to formalize Kantorovitch's theorem which gives the convergence of Newton's method to a solution, the speed of the convergence and the local stability of the method. The formal study of this theorem also demanded a formalization of concepts of multivariate analysis. Based on these classic results on Newton's method, we showed that rounding at each step in Newton's method still yields a convergent process with an accurate correlation between the precision of the input ant that of the result. In a joint work with Nicolas Julien, we studied formally computations with Newton's method in a library of exact real arithmetic.
For linear systems of equations, we analyzed the case where the associated matrix has interval coefficients. For solving such systems, an important issue is to establish whether the associated matrix is regular. We provide a collection of formally verified criteria for regularity of interval matrices.
Dans ce cadre, on a analysé la méthode de Newton, couramment utilisée pour approcher les solutions d'une équation ou d'un système d'équations. Le but a été de formaliser le théorème de Kantorovitch qui montre la convergence de la méthode de Newton vers une solution, l'unicité de la solution dans un voisinage, la vitesse de convergence et la stabilité locale de la méthode. L'étude de ce théorème a nécessité la formalisation de concepts d'analyse multivariée. En se basant sur ces résultats classiques sur la méthode de Newton, on a montré qu'arrondir à chaque étape préserve la convergence de la méthode, avec une corrélation bien déterminée entre la précision des données d'entrée et celle du résultat. Dans un travail commun avec Nicolas Julien nous avons aussi formellement étudié les calculs avec la méthode de Newton effectués dans le cadre d'une bibliothèque d'arithmétique réelle exacte.
Pour les systèmes linéaires d'équations, on s'est intéressé aux systèmes qui ont une matrice associée à coefficients intervalles. Pour résoudre de tels systèmes, un problème important qui se pose est de savoir si la matrice associée est régulière. On a fourni la vérification formelle d'une collection de critères de régularité pour les matrices d'intervalles.