Bilinear Time-Frequency and Time-Scale Representations: Synthesis and Contributions.
Représentations Temps-Fréquence et Temps-Echelle Bilinéaires: Synthèse et Contributions
Résumé
In the first part of this thesis, we present a unified approach to time-frequency and to time-scale analysis. Time-frequency and time-scale representations are multidimensional transformations that indicate the joint time-frequency and joint time-scale content of a signal. Although different in their goals, both the time-frequency and the time-scale tools can be expressed in terms of unitary groups representations based on particular covariance operators on the time-frequency plane. Thus, the time-frequency distributions of the Cohen's class, which correspond to the Weyl-Heisenberg group, are naturally covariant to time and frequency shifts, whereas the time-scale distributions of the affine class, which correspond to the affine algebraic group, are covariant to time shifts and to scale changes. Moreover, by means of unitary equivalence, it is possible to generate classes of distributions that are covariant to other displacement operators of the time-frequency plane. In the second part, we present a new approach for generating bilinear signal representations based on the geometry of cross-terms that arise from the quadratic structure of the distributions. Using geometrical rules and parity operators, we derive a class of affine-localized distributions. Finally, we emphasize the role of time-scale analysis in several applications, including Doppler radar and sonar processing, 1/f spectral estimation, and characterization of processes exhibiting scaling law organization. In particular, signal singularities, described by Hölder exponents, can be easily revealed and estimated by affine distributions when the scale dependence of these tools matches the self-similarity properties of the processes.
Cette thèse est consacrée à l'étude des distributions énergétiques temps-fréquence et temps-échelle, qui sont deux types de représentations conjointes bilinéaires de signaux. Bien que leurs vocations respectives diffèrent, on montre dans une première partie qu'il est possible d'unifier le cadre de leur étude en les présentant comme des représentations unitaires dans un espace de Hilbert, de groupes algébriques munis de règes opératorielles particulières. Ainsi, la classe de Cohen, représentation unitaire du groupe de Weyl-Heisenberg, est attachée à des propriétés naturelles de covariance par translation en temps et en fréquence. Les distributions temps-échelle de la classe affine étant, quant à elles, des représentations du groupe affine, sont précisément les distributions covariantes par translation en temps et changement d'échelle. Ce faisant, il est ensuite possible d'élargir le champ des distributions covariantes par un couple spécifique d'opérateurs en faisant usage d'équivalences unitaires entre classe de représentations. Un autre aspect de ces représentations bilinéaires, qui est abordé dans la deuxième partie de la thèse, est lié aux formes quadratiques qui les sous-tendent. Celles-ci sont notamment responsables de l'existence d'interférences obéissant à des règles de construction géométriques en lien avec la nature des opérateurs mis en jeu. Ces règles de construction sont formalisées dans le cas de certaines distributions affines localisées, et les prédictions théoriques sont confrontées à des résultats de simulation. Enfin dans une dernière partie, nous abordons certaines situations pour lesquelles les caractérisations temps-échelle sont d'un recours avantageux face aux analyses temps-fréquence. Parmi les problématiques soulevées (qui incluent la tolérance à l'effet Doppler et l'estimation spectrale de bruits en « 1/f »), l'estimation de singularités du type hölderienne occupe une place importante dans la mesure où ces dernières développent une structuration en loi d'échelle que les représentations affines permettent de révéler.