Theoretical and numerical study of the equations of Vlasov-Maxwell in the covariant formalism.
Etude théorique et numérique des équations de Vlasov-Maxwell dans le formalisme covariant.
Résumé
A new point of view is proposed for the simulation of plasmas using the kinetic model which couples the equations of Vlasov for the distribution of particles and the equations of Maxwell for the electromagnetic contribution of fields. We use the following principle: the equations of the Physics are mathematical objects which put in relation of the geometrical objects. To preserve the geometrical properties of the various objects in an equation, we use, for the theoretical and numerical study, the differential geometry. All of the equations of the Physics can be write with differential forms and this point of view no dependent of the choice of coordinates. We propose then a discretization of the differential forms by using B-splines. To be coherent with the theory, we shall also propose a discretization of the various operations of the differential geometry. We test our scheme first of all on the equations of Maxwell with several conditions for the boundary and since it is independent of the system of coordinates, we also test it when we change coordinates. Finally, we apply the same method to the equations of Vlasov-Poisson 1D and we propose several numerical scheme.
Un nouvel point de vue est proposé pour la simulation des plasmas utilisant le modèle cinétique qui couple les équations de Vlasov pour la distribution des particules et les équations de Maxwell pour la contribution des champs électromagnétique. On part du principe que les équations de la Physique sont des objets mathématiques qui mettent en relation des objets géométriques. Afin de conserver les propriètés géométriques des différents objets intervenant dans une équation, on utilise, pour l'étude théorique et numérique, la géométrie différentielle. Il s'avère que toutes les équations de la Physique peuvent s'écrire à l'aide des formes différentielles et que sous ce point de vue celles-ci sont indépendantes du choix des coordonnées. On propose alors une discrétisation des formes différentielles en utilisant les B-splines comme fonctions d'interpolation. Afin d'être cohérent avec la théorie, on proposera également une discrétisation des différentes opérations de la géométrie différentielle agissant sur les formes différentielles. On teste notre schéma tout d'abord sur les équations de Maxwell avec plusieurs conditions aux bords et puisque ce schéma numérique obtenu est indépendant du système de coordonnées, on le teste également lorsque l'on effectue un changement de coordonnées. Enfin, on applique la même méthode sur les équations de Vlasov-Poisson 1D et on propose plusieurs schémas numériques.
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