Robust algebraic methods for geometric computing

Méthodes algébriques robustes pour le calcul géométrique

Angelos Mantzaflaris (1)

1 GALAAD - Geometry, algebra, algorithms

Geometric computation in computer aided geometric design and solid modeling calls for solving non-linear polynomial systems in an approximate-yetcertified manner. We introduce new subdivision algorithms that tackle this fundamental problem. In particular, we generalize the univariate so-called continued fraction solver to general dimension. Fast bounding functions, unicity tests, projection and preconditioning are employed to speed up convergence. Apart from practical experiments, we provide theoretical bit complexity estimates, as well as bounds in the real RAM model, by means of real condition numbers. A main bottleneck for any real solving method is singular isolated points. We employ local inverse systems and certified numerical computations to provide certification criteria to treat singular solutions. In doing so, we are able to check existence and uniqueness of singularities of a given multiplicity structure using verification methods, based on interval arithmetic and fixed point theorems. Two major geometric applications are undertaken. First, the approximation of planar semi-algebraic sets, commonly occurring in constraint geometric solving. We present an efficient algorithm to identify connected components and, for a given precision, to compute polygonal and isotopic approximation of the exact set. Second, we present an algebraic framework to compute generalized Voronoï diagrams, that is applicable to any diagram type in which the distance from a site can be expressed by a bi-variate polynomial function (anisotropic, power diagram etc). In cases where this is not possible (eg. Apollonius diagram, VD of ellipses and so on), we extend the theory to implicitly given distance functions.

Le calcul géométrique en modélisation et en CAO nécessite la résolution approchée, et néanmoins certifiée, de systèmes polynomiaux. Nous introduisons de nouveaux algorithmes de sous-division afin de résoudre ce problème fondamental, calculant des développements en fractions continues des coordonnées des solutions. Au delà des exemples concrets, nous fournissons des estimations de la complexité en bits et des bornes dans le modèle de RAM réelle. La difficulté principale de toute méthode de résolution consiste en les points singuliers isolés. Nous utilisons les systèmes locaux inverses et des calculs numériques certifiés afin d'obtenir un critère de certification pour traiter les solutions singulières. Ce faisant, nous sommes en mesure de vérifier l'existence et l'unicité des singularités d'une structure de multiplicité donnée. Nous traitons deux principales applications géométriques. La première: l'approximation des ensembles semi-algébriques plans, apparaît fréquemment dans la résolution de contraintes géométriques. Nous présentons un algorithme efficace pour identifier les composants connexes et pour calculer des approximations polygonales et isotopiques à l'ensemble exact. Dans un deuxième temps, nous présentons un cadre algébrique afin de calculer des diagrammes de Voronoi. Celui-ci sera applicable à tout type de diagramme dans lequel la distance à partir d'un site peut être exprimé par une fonction polynomiale à deux variables (anisotrope, diagramme de puissance etc). Si cela n'est pas possible (par exemple diagramme de Apollonius, VD des ellipses etc), nous étendons la théorie aux distances implicitement données.

Mots clés: root isolation; continued fractions; singular isolated point; root deflation; arrangement of curves; semi-algebraic set; Voronoi diagram; subdivision algorithm

Mots clés: isolation des racines; fractions continues; point singulier isolé; déflation de racine; arrangement des courbes; ensemble semi-algébrique; diagramme de Voronoi; algorithme de sous-division

Domaines: Calcul formel [cs.SC]; Géométrie algorithmique [cs.CG]; Ingénierie assistée par ordinateur

Angelos Mantzaflaris. Robust algebraic methods for geometric computing. Symbolic Computation [cs.SC]. Université Nice Sophia Antipolis, 2011. English. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00651672⟩