Rational approximation techniques and frequency design: a Zolotarev problem and the Schur algorithm
Techniques d'approximation rationnelle en synthèse fréquentielle : problème de Zolotarev et algorithme de Schur
Résumé
This thesis presents some rational approximation and optimization techniques with applications to the synthesis and identification of passive systems. In the first part, we study a Zolotarev-type problem: to maximize on some set of intervals the infimum of the modulus of a rational function of given degree, under the constraint that the modulus of this function is bounded by 1 on another set of intervals. We are first concerned with the existence and the characterization of the solutions to such a problem. Next, a Remes-type algorithm and a differential-correction-type algorithm are studied. The link with the synthesis of microwave filters is carried out in detail. In fact, the theory we present allows one to compute multiband filtering functions with respect to given specifications. From the practical viewpoint, some microwave filters have been designed using this theory, and their theoretical response is compared to the real one. In the second part, the Schur rational approximation of a Schur function is studied. A Schur function is an analytic function whose modulus is bounded by 1 in the unit disk. First, the multipoint Schur algorithm is presented. It gives a parametrization of all strictly Schur functions. Next, the link with orthogonal rational functions is developed via a Geronimus-type theorem. The latter allows us to prove some approximation properties, where the interpolation points may tend to the unit circle. In particular, a convergence in the Poincare metric is obtained thanks to an extension of a Szego-type theorem. A numerical study for the computation of the Schur approximants of given degree is also presented.
Cette thèse présente des techniques d'optimisation et d'approximation rationnelle ayant des applications en synthèse et identification de systèmes passifs. La première partie décrit un problème de Zolotarev : on cherche à maximiser sur une famille d'intervalles l'infimum du module d'une fonction rationnelle de degré donné, tout en contraignant son module à ne pas dépasser 1 sur une autre famille d'intervalles. On s'intéresse dans un premier temps à l'existence et à la caractérisation des solutions d'un tel problème. Deux algorithmes, de type Remes et correction différentielle, sont ensuite présentés et étudiés. Le lien avec la synthèse de filtres hyperfréquences est détaillé. La théorie présentée permet en fait le calcul de fonctions de filtrage, multibandes ou monobandes, respectant un gabarit fixé. Celle-ci a été appliquée à la conception de plusieurs filtres hyperfréquences multibandes dont les réponses théoriques et les mesures sont données. La deuxième partie concerne l'approximation rationnelle Schur d'une fonction Schur. Une fonction Schur est une fonction analytique dans le disque unité bornée par 1 en module. On étudie tout d'abord l'algorithme de Schur multipoints, qui fournit un paramétrage des fonctions strictement Schur. Le lien avec les fonctions rationnelles orthogonales, obtenu grâce à un théorème de type Geronimus, est ensuite présenté. Celui-ci permet alors d'établir certaines propriétés d'approximation dans le cas peu étudié où les points d'interpolation tendent vers le bord du disque. En particulier, une convergence en métrique de Poincaré est obtenue grâce à une extension d'un théorème de type Szego. Une étude numérique sur l'approximation rationnelle Schur à degré fixé est aussi réalisée.
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