An algebraic study of minimum weight codewords of cyclic codes, linear algebra methods for finite fields
Étude algèbrique des mots de poids minimum des codes cycliques, méthodes d'algèbre linéaire sur les corps finis.
Résumé
Minimum weight codewords of cyclic error-correcting codes are considered here. The elementary symmetric functions and the power-sum symmetric functions of the locators of these codewords are related by the Newton's identities. In the first chapter, they are viewed as a system of algebraic equations, whose solutions are studied by means of the Fourier transform. In chapter II, the link with cyclic error-correcting codes is established. On some examples, it is shown how to study the minimum weight codewords on the data of a Grobner basis of the ideal generated by the Newton's identities. In chapter III, the Newton's identities are considered from a theoretical point of view, and results about minimum weight codewords of a family of BCH codes are obtained. These computations occurs in the context of finite fields. In chapter IV, an algorithm is constructed for computing a normal basis of a finite field. A point of view from linear algebra is chosen, and other problems are dealt with (the computation of the minimal polynomial, of the Frobenius form of a matrix, when the factorization of the characteristic polynomial is known).
Nous étudions les mots de poids minimal des codes correcteurs d'erreurs cycliques. Les fonctions symétriques élémentaires et les fonctions puissances des localisateurs de ces mots vérifient les identités de Newton. Dans le premier chapitre celles-ci sont étudiées comme un système d'équations algébriques, dont les solutions sont étudiées par transformation de Fourier. Dans le chapitre II, le lien est fait avec les codes correcteurs d'erreurs cycliques. Sur quelques exemples, il est montré comment étudier les mots de poids minimal sur la donnée d'une base standard de l'idéal engendré par les équations de Newton. Dans le chapitre III, les relations de Newton sont utilisées d'un point de vue théorique, et des résultats sur les mots de poids minimal de certains codes BCH sont obtenus. Ces calculs se placent dans le contexte de la théorie des corps finis. Dans le chapitre IV, un algorithme est développé pour calculer une base normale sur un corps fini. Un point de vue d'algèbre linéaire est choisi, et d'autres problèmes sont abordés (calcul du polynôme minimal, de la forme de Frobenius d'une matrice, lorsque la factorisation du polynôme caractéristique est connue).
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