Comportement asymptotique de marches aléatoires de branchement dans $\mathbb{R}^d$ et dimension de Hausdorff
Résumé
We compute almost surely (simultaneaously) the Hausdorff dimensions of the sets of infinite branches of the boundary of a super-critical Galton-Watson tree (endowed with a random metric) along which the averages of a vector valued branching random walk have a given set of limit points. This goes beyond multifractal analysis, for which we complete the previous works on the subject by considering the sets associated with levels in the boundary of the domain of study. Our method is inspired by some approach used to solve similar questions in the different context of hyperbolic dynamics for the Birkhoff averages of continuous potentials. It also exploits ideas from multiplicative chaos and percolation theories, which are used to estimate the lower Hausdorff dimension of a family of inhomogeneous Mandelbrot measures. This method also makes it possible to strengthen the multifractal analysis of the branching random walk averages by refining the level sets so that they contain branches over which a quantified version of the Erdös Renyi law of large numbers holds, and yields a $0-\infty$ law for the Hausdorff measures of these sets. Our results naturally give geometric and large deviations information on the heterogeneity of the birth process along different infinite branches of the Galton-Watson tree.
Nous calculons presque sûrement, simultanément, les dimensions de Hausdorff des ensembles de branches infinies de la frontière d'un arbre de Galton-Watson super-critique (muni d'une métrique aléatoire) le long desquelles les moyennes empiriques d'une marche aléatoire de branchement vectorielle admettent un ensemble donné de points limites. Cela va au-delà de l'analyse multifractale, question pour laquelle nous complétons les travaux antérieurs en considérant les ensembles associés à des niveaux situés dans la frontière du domaine d'étude. Nous utilisons une méthode originale dans ce contexte, consistant à construire des mesures de Mandelbrot inhomogènes appropriées. Cette méthode est inspirée de l'approche utilisée pour résoudre des questions similaires dans le contexte de la dynamique hyperboliques pour les moyennes de Birkhoff de potentiels continus. Elle exploite des idées provenant du chaos multiplicatif et de la théorie de la percolation pour estimer la dimension inférieure de Hausdorff des mesures de Mandelbrot inhomogènes. Cette méthode permet de renforcer l'analyse multifractale en raffinant les ensembles de niveaux de telle sorte qu'ils contiennent des branches infinies le long desquels on observe une version quantifiée de la loi des grands nombres d'Erdös Renyi ; de plus elle permet d'obtenir une loi de type $0-\infty$ pour les mesures de Hausdorff de ces ensembles. Nos résultats donnent naturellement des informations géométriques et de grandes déviations sur l'hétérogénéité du processus de naissance le long des différentes branches infinies de l'arbre de Galton-Watson.
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