Analytic combinatorics and urn models
Combinatoire analytique et modèles d'urnes
Résumé
This thesis studies Pólya urns through the analytic combinatorics point of view. Urns are conceptually very simple models of growth or extinction dynamics for which the limiting behaviors are extremely diverse. Those models are widely studied by probabilistic approach, but the precise understanding of the variety of limit laws is still an open question. Since 2005, the work of Flajolet et al. shows that an analytic combinatorics approach can be very fruitful for those questions: the study of the properties (nature, singularities) of generating functions linked to urns provides access to many precisions on limit laws. This thesis is a continuation of this work. First, the determination of the nature of the generating functions of urns by a high tech algorithm of computer algebra (au- tomatic Guess'n'Prove) identifies which functions are algebraic. Then, we lead exact and asymptotic analysis for algebraic classes and precise properties on limiting behaviors are thus derived (moments structure, rate of convergence, local limit properties). Second, a study of some non algebraic urns is done through concrete examples linked to some models of social networks, or the combinatorics of some boolean formulas. Third, through the extension of classical models (unbalanced models, random entries for substitution rules), we show that the symbolic aspects of analytic combinatorics are thriving. More specifically, a general combinatorial study for non necessarily balanced urns is done for the first time and links any urn to a partial differential equation.
Cette thèse étudie les urnes de Pólya à travers le prisme de la combinatoire analytique. Les urnes sont des modèles, conceptuellement très simples, de dynamique de croissance ou d'extinction dont les comportements limites sont extrêmement variés. Ces modèles sont largement étudiés par des approches probabilistes mais la compréhension précise des diverses lois limites reste une question ouverte. Les travaux de Flajolet et al. en 2005 ont illustré que pour ces questions, une approche par combinatoire analytique peut se révéler très fructueuse: l'étude des propriétés (nature, singularités) des séries génératrices associées aux urnes donne accès à des lois limites avec grande précision. Cette thèse s'inscrit dans la continuité de ces travaux et commence par identifier les séries des urnes de nature algébrique, grâce à un algorithme sophistiqué issu du calcul formel (Divination/Preuve automatique). Pour les classes d'urnes algébriques, nous menons des analyses, exacte et asymptotique, afin de connaître avec précision les comportements limites (structures des moments, vitesse de convergence, aspects limites locaux). Puis, l'étude d'urnes non algébriques est faite au travers d'exemples concrets portant sur la modélisation de réseaux sociaux, ainsi que sur la combinatoire des formules booléennes. Enfin, à travers des modèles d'urnes plus généraux (absence d'équilibre, présence d'aléa au sein des règles de substitution), nous montrons que l'approche symbolique de la combinatoire analytique est robuste. En particulier, une étude combinatoire générale des urnes sans condition d'équilibre est réalisée pour la première fois, unissant toute urne à une équation aux dérivées partielles.
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