Symmetry breaking and pattern formation in some neural field equations
Rupture de symétrie et formation de structures dans certaines équations de champs neuronaux
Résumé
The aim of this Thesis is to give a deeper understanding of pattern formation in neural field equations with symmetry, and to understand the significance of these symmetries in modeling the visual cortex. Neural field equations are mesoscopic models that describe the spatio-temporal activity of populations of neurons. They were introduced in the 1970s and are often called the Wilson-Cowan-Amari equations in reference to their authors. From a mathematical point of view, neural field equations are integro-differential equations set on domains particular to the modeled anatomical / functional properties. The first part of the Thesis is an in- troduction to mesoscopic modeling of the visual cortex and presents a model of the processing of image edges and textures. The second part is dedicated to the study of spatially periodic solutions of neural field equations, in different geome- tries, with applications to visual hallucination patterns. The results developed are general enough to be applied to other pattern formation problems. Finally, the last part is centered on the study of localized solutions of neural field equations set on unbounded domains.
Cette thèse se propose de comprendre la formation de structures dans les équations de champs neuronaux en présence de symétrie ainsi que la conséquence pour la modélisation du cortex visuel. Les équations de champs neuronaux sont des modèles mésoscopiques qui décrivent l'activité spatio-temporelle de populations de neurones. Elles ont été introduites dans les années 1970 et sont souvent appelées les équations de Wilson-Cowan-Amari en référence à leurs auteurs. D'un point de vue mathématique, les équations de champs neuronaux sont des équations intégro-différentielles posées sur des domaines qui dépendent des propriétés anatomiques et/ou fonctionnelles modélisées. Dans la première partie, nous rappelons quelques éléments de biologie du cortex visuel, dérivons les équations de champs neuronaux de manière générale et introduisons ensuite une nouvelle classe de champs neuronaux pour le problème de modélisation de la perception des textures. La seconde partie de cette thèse est dédiée à l'étude de formation de structures en géométrie non-euclidienne et s'appuie principalement sur la théorie des systèmes dynamiques en dimension infinie en présence de symétrie. Cette seconde partie est relativement indépendante des autres et est écrite de manière suffisamment générale pour pouvoir être appliquée de façon systématique à tout problème de formation de structures en géométrie non-euclidienne satisfaisant certaines conditions de généricité. Enfin, dans la dernière partie, nous étudions l'existence de solutions localisées pour une certaine classe de champs neuronaux définis sur des domaines non bornés.
Domaines
Mathématiques générales [math.GM]
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