Étude mathématique et numérique d'un modèle gyrocinétique incluant des effets électromagnétiques pour la simulation d'un plasma de Tokamak.
Résumé
This thesis is devoted to the study of charged particle beams under the action of strong magnetic fields. In addition to the external magnetic field, each particle is submitted to an electromagnetic field created by the particles themselves. In kinetic models, the particles are represented by a distribution function f(x,v,t) solution of the Vlasov equation. To determine the electromagnetic field, this equation is coupled with the Maxwell equations or with the Poisson equation. The strong magnetic field assumption is translated by a scaling wich introduces a singular perturbation parameter 1/ε. The first chapter of this thesis is an introduction to the magnetic confinement in a Tokamak. The second chapter is devoted to the geometrical gyrokinetic theory. Considering a Hamiltonian Dynamical System describing the motion of charged particle in a Tokamak of a Stellarator, we build a change of coordinates to reduce it dimension. This change of coordinates is in fact an intricate succession of mappings that are built using Hyperbolic Partial Differential Equations, Differential Geometry, Hamiltonian Dynamical System Theory and Symplectic Geometry, Lie Transforms and a new tool which is here introduced : Partial Lie Sums. In the third chapter we apply analogous geometrical techniques to the case of a charged beam under the action of a radial external electric field. The last Chapter is devoted to the study of highly oscillating system. With the aim of solving in a four dimensional phase space a small parameter dependent Vlasov-Poisson system, we propose in a Particle-In-Cell framework a time-stepping method which is numerically uniformly accurate when the parameter vanishes. As an exponential integrator, the scheme is able to use large time steps with respect to the typical size of the solution's fast oscillations.
Cette thèse propose différentes méthodes théoriques et numériques pour simuler à coût réduit le comportement des plasmas ou des faisceaux de particules chargées sous l'action d'un champ magnétique fort. Outre le champ magnétique externe, chaque particule est soumise à un champ électromagnétique créé par les particules elles-mêmes. Dans les modèles cinétiques, les particules sont représentées par une fonction de distribution f(x,v,t) qui vérifie l'équation de Vlasov. Afin de déterminer le champ électromagnétique, cette équation est couplée aux équations de Maxwell ou de Poisson. L'aspect champ magnétique fort est alors pris en compte par un adimensionnement adéquat qui fait apparaître un paramètre de perturbation singulière 1/ε. Le premier chapitre de cette thèse est une introduction à la fusion contrôlée par confinement magnétique dans les Tokamaks. Le second chapitre est consacré à la théorie gyrocinétique géométrique. Cette théorie repose sur la géométrie différentielle et la dynamique des systèmes hamiltoniens. L'objectif est de faire une succession de changements de coordonnées afin de se ramener à un système proche du centre-guide historique dans lequel les expressions de la matrice de Poisson et du Hamiltonien permettent une réduction de la dimension des trajectoires. Le chapitre 3 met en pratique les mêmes techniques sur un autre problème, la modélisation paraxiale d'un faisceau de particules chargées. Le dernier chapitre est dédié à un schéma numérique basé sur un intégrateur exponentiel en vitesse. Ce schéma a pour objectif d'approcher numériquement des solutions fortement oscillantes avec une méthode Particle-In-Cell en utilisant un pas de temps beaucoup plus grand que la période d'oscillation rapide. Il est testé sur une équation de Vlasov linéaire ainsi que sur le système de Vlasov-Poisson.