Numerical methods for the reduced Vlasov equation
Méthodes numériques pour l'équation de Vlasov réduite
Résumé
We consider the Vlasov equation coupled with the Maxwell equations for the electromagnetic field or with the Poisson equation for electric field only.
In the general three-dimensional (3D) case, the system is very complicated with 7 variables (three velocities, three positions and the time) so leads to very heavy numerical simulations. The Particle-In-Cell (PIC) method is a popular method for computing collisionless plasma, because it allows performing simulations in complex configurations with a relatively low amount of memory and CPU ressource. However the PIC method is based on an initial random choice of the particles and thus presents numerical noise. Also, it is difficult to ensure the energy conservation. Therefore, Eulerian methods for solving kinetic equations are becoming more and more popular. They allow a better control of the conservation and numerical errors.
We construct an hyperbolic approximation of the Vlasov equation in which the dependency on the velocity variable is removed. The resulting model enjoys interesting conservation and entropy properties.
We propose different methods numerical in order to solve this hyperbolic system : Finite volume, Semi-Lagrangian, Discontinuous Galerkin.
Beaucoup de méthodes numériques ont été développées pour résoudre l'équation de Vlasov car obtenir des simulations numériques précises en un temps raisonnable pour cette équation est un véritable défi. Cette équation décrit en effet l'évolution de la fonction de distribution de particules (électrons/ions) qui dépend de 3 variables d'espace, 3 variables de vitesse et du temps. L'idée principale de cette thèse est de réécrire l'équation de Vlasov sous forme d'un système hyperbolique par semi-discrétisation en vitesse. Cette semi-discrétisation est effectuée par méthode d'éléments finis. Le modèle ainsi obtenu est appelé équation de Vlasov réduite. Nous proposons différentes méthodes numériques pour résoudre efficacement ce modèle.
Dans cette thèse, nous appliquons cette démarche à différents contextes. Nous commençons par l'étude du modèle Vlasov-Poisson en 1D (chapitre 3), puis nous adaptons la méthode au modèle de Vlasov-Poisson avec la transformation de Fourier en vitesse (chapitre 4). Ensuite, nous mettons en oeuvre la méthode pour le système Vlasov-Poisson 2D dans la bibliothèque SELALIB (chapitre 5 et 6). Finalement, nous nous intéressons aux modèles de Vlasov-Maxwell (chapitre 7 et aux modèles Drift-Kinetic (chapitre 8) développés dans le code schnaps.