The lattice of reduction operators: applications to noncommutative Gröbner bases and homological algebra
Le treillis des opérateurs de réduction : applications aux bases de Gröbner non commutatives et en algèbre homologique
Résumé
In this thesis, we study unital associative algebras using rewriting methods. The theory of noncommutative Gröbner bases enables us to solve decision problems or compute homological invariants using such methods.
In order to study homological properties, Berger gives a lattice characterisation of quadratic Gröbner bases. This characterisation uses reduction operators. The latter are specific projectors of a vector space equipped with a well-founded basis. When this vector space is finite dimensional, Berger proved that the set of reduction operators admits a lattice structure. He deduced a lattice formulation of confluence and used it to characterise quadratic Gröbner bases.
In this thesis, we extend the approach using reduction operators to non-necessarily quadratic algebras. For that, we show that the set of reduction operators still admits a lattice structure when the underlying vector space is infinite dimensional. We deduce a general formulation of confluence as well as a lattice interpretation of completion.
The algebraic formulation of confluence provides a lattice characterisation of noncommutative Gröbner bases. Moreover, we show that a completion can be obtained using a construction in the lattice of reduction operators. We deduce a method to construct noncommutative Gröbner bases.
We also construct a contracting homotopy for the Koszul complex. The algebraic formulation of confluence enables us to characterise it by with equations. These equations induce representations of a family of algebras called confluence algebras. The contracting homotopy is constructed using these representations.
Dans cette thèse, on étudie les algèbres associatives unitaires par des méthodes de réécriture. La théorie des bases de Gröbner non commutatives permet de résoudre des problèmes de décidabilité ou de calculer des invariants homologiques par de telles méthodes.
Motivé par des questions d'algèbre homologique, Berger caractérise les bases de Gröbner quadratiques en termes de treillis. Cette caractérisation a pour base les opérateurs de réduction. Ceux-ci sont des projecteurs particuliers d'un espace vectoriel admettant une base totalement ordonnée. Berger montre que, dans le cas où cet espace vectoriel est de dimension finie, l'ensemble des opérateurs de réduction admet une structure de treillis. Il en déduit une formulation de la confluence en termes de treillis lui permettant de caractériser les bases de Gröbner quadratiques.
Dans ce travail, on étend l'approche par les opérateurs de réduction en l'appliquant au cas des algèbres non nécessairement quadratiques. Pour cela, on montre qu'en dimension quelconque l'ensemble des opérateurs de réduction admet également une structure de treillis. En dimension finie, celle-ci coïncide avec celle exhibée par Berger. On en déduit une formulation de la confluence en termes de treillis généralisant celle de Berger. En outre, on donne une interprétation de la complétion en termes de treillis.
La formulation algébrique de la confluence permet en particulier des caractériser les bases de Gröbner non commutatives en termes de treillis. De plus, la formulation algébrique de la complétion, nous permet de montrer que celle-ci peut être obtenue via une construction dans le treillis des opérateurs de réduction. On en déduit une méthode pour construire des bases de Gröbner non commutatives.
On construit également une homotopie contractante du complexe de Koszul en termes d'opérateurs de réduction. La formulation de la confluence en termes de treillis nous permet de caractériser celle-ci par des équations. Ces équations induisent des représentations d'une famille d'algèbres que sont les algèbres de confluence. L'homotopie contractante est construite à partir de ces représentations.
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