Algebraic combinatorics and resultant methods for polynomial system solving
Combinatoire algébrique et méthodes basées sur le résultant pour la résolution de systèmes polynomiaux
Résumé
The contribution of the thesis is threefold. The first Problem is computing the discriminant, when the system’s dimension varies. Thus solving polynomial equations and systems by exploiting the structure and sparseness of them have been studied. Specifically, closed formulas for the degree of the sparse (mixed) discriminant and the sparse resultant of polynomial equations have been studied, as well as relationships between them. Closed formulas when one of the polynomials factors in the context of the theory of sparse elimination using the Newton polytope have been proposed. The purpose is to facilitate the computation of the sparse (or mixed) discriminant of a well-constrained polynomial system and to generalize the formula that connects the mixed discriminant with the sparse resultant. Further, we are given a system of n ⩾ 2 homogeneous polynomials in n variables which is equivariant with respect to the symmetric group of n symbols. We then prove that its resultant can be decomposed into a product of several resultants that are given in terms of some divided differences. As an application, we obtain a decomposition formula for the discriminant.
The second Problem is computing the Minkowski decomposition of a polytope and the third one was the problem of Multidimensional Subset Sum (kD-SS) in arbitrary dimension. We present an algorithm for computing all Minkowski Decompositions (MinkDecomp) of a given convex, integral d-dimensional polytope. Further, we consider the approximation of two NP-hard problems: Minkowski Decomposition (MinkDecomp) of lattice polygons in the plane and the closely related problem of Multidimensional Subset Sum (kD-SS) in arbitrary dimension. In kD-SS, a multiset S of k-dimensional vectors is given, along with a target vector t, and one must decide whether there exists a subset of S that sums up to t. We prove, through a gap-preserving reduction from Set Cover that, for general dimension k, the corresponding optimization problem kD-SS-opt is not in APX, although the classic 1D-SS-opt has a PTAS. On the positive side, we present an approximation algorithm for 2D-SS-opt, where ε > 0 bounds the additive error in terms of some property of the input. By a reduction of the optimization version of MinkDecomp to 2D-SS-opt we approximate the former.
La contribution de la thèse est triple. Le premier problème est le calcul du discriminant, lorsque la dimension du système varie. Ainsi, la résolution d'équations et de systèmes polynomiaux en exploitant la structure de ceux-ci a été étudiée. Des formules fermées pour le degré du discriminant clairsemé (mixte) et la résultante des équations polynomiales ont été étudiées, ainsi que des relations entre eux, en utilisant le polytope de Newton. Le but est de faciliter le calcul du discriminant creuse (ou mixte) d'un système polynomial bien contraint et de généraliser la formule qui relie le discriminant mixte au résultant creux. De plus, etant donne' un système de n ⩾ 2 polynômes homogènes en n variables qui est équivariant par rapport au groupe symétrique de n symboles, nous montrons que son résultant peut être décomposé en un produit de plusieurs résultants en termes de différences divisées. En tant qu'application, nous obtenons une formule de décomposition pour le discriminant.
Le deuxième problème est le calcul de la décomposition de Minkowski d'un polytope et le troisième était le problème de la somme des sous-ensembles multidimensionnels (kD-SubsetSum) dans une dimension arbitraire. Nous présentons un algorithme pour calculer toutes les décompositions de Minkowski (MinkDecomp) d'un polytope d-dimensionnel convexe et entier. Nous considérons l'approximation de deux problèmes NP-hard: la décomposition de Minkowski (MinkDecomp) des polygones dans le plan et le problème de la somme des sous-ensembles multidimensionnels (kD-SS) dans une dimension arbitraire. En kD-SS, un multiset S de vecteurs k-dimensionnels est donné, avec un vecteur cible t, et il faut décider s'il existe un sous-ensemble de S qui somme jusqu'à t. Nous prouvons, à travers une réduction gap-preserving de Set Cover, que le problème d'optimisation correspondant kD-SS-opt n'est pas dans APX, bien que le classique 1D-SS-opt ait un PTAS. Du côté positif, nous présentons un algorithme d'approximation pour 2D-SS-opt, où ε> 0 limite l'erreur additive.
Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)
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