Construction and analysis of artificial boundary conditions for Schrödinger equations with potentials or nonlinarities
Construction et analyse de conditions aux limites artificielles pour des équations de Schrödinger avec potentiels et non linéarités
Résumé
The numerical resolution of the Schrödinger equation in exterior domain requires adequate boundary conditions on the boundary of the computational domain. These boundary conditions are directly connected with the potential function of the equation. For the free-potential equation, the exact boundary condition and efficient methods of discretization and implementation are known. The aim of this thesis is to generalize these methods in the case of a potential as general as possible, linear or nonlinear, corresponding to various physical situations. We make the choice to give up exact boundary condition in order to develop a more general method, well-adapted to numerical implementation. Thanks to pseudodifferential calculus, we propose a detailed research of methods taking the potential into account in an artificial boundary condition (ABC). This thesis deals with the case of the one- and two-dimensional Schödinger equation, with a linear or nonlinear potential, and with the case of the one-dimensional stationary equation. The construction of these ABC relies on microlocal analysis and symbolic calculus linked to fractional pseudodifferential operators. The time-discretization is made using discrete convolutions or Padé approximants, and the space discretization relies on linear finite elements. We use the Besse relaxation scheme to solve the nonlinear equation. The mathematical analysis of the constructed boundary conditions shows that in some cases, continuous and semi-discrete a priori estimations are satisfied. Various numerical simulations are implemented in order to test the numerical efficiency of the boundary conditions and to compare them with one another.
La résolution numérique de l'équation de Schrödinger en domaine extérieur nécessite l'utilisation de conditions aux limites appropriées sur la frontière du domaine de calcul. Les conditions aux limites à utiliser sont directement reliées à la fonction de potentiel intervenant dans l'équation. Pour l'équation à potentiel nul, la condition aux limites exacte est connue, ainsi que des méthodes efficaces de discrétisation et d'implémentation numérique. L'objectif de cette thèse est d'étendre les méthodes mises en jeu à potentiel nul dans le cas d'un potentiel aussi général que possible, à l'image des situations physiques variées faisant intervenir un potentiel, linéaire ou non linéaire. Nous prenons le parti de renoncer à établir des conditions aux limites exactes, au profit d'une plus grande généralité de la méthode et d'une bonne adaptation à une implémentation numérique. En se basant sur le calcul pseudodifférentiel, on propose alors une recherche détaillée de méthodes permettant de prendre en compte le potentiel dans une condition aux limites artificielle (CLA). Cette thèse traite le cas de l'équation en dimension un ou deux avec potentiel linéaire ou non linéaire, ainsi que de l'équation stationnaire en dimension un. La construction de ces CLA repose sur l'analyse microlocale et le calcul symbolique associé aux opérateurs pseudodifférentiels fractionnaires. La discrétisation en temps est effectuée à l'aide de convolutions discrètes ou d'approximants de Padé, et la discrétisation en espace repose sur des éléments finis linéaires. On utilise la méthode de relaxation de Besse pour résoudre l'équation non linéaire. L'analyse mathématique des conditions construites dans cette thèse permet de démontrer dans certains cas des estimations a priori, sur le plan continu et sur le plan semi-discret. De nombreuses simulations numériques permettent de tester l'efficacité des conditions aux limites proposées et de les comparer entre elles.