APPROXIMATION OF ONE-DIMENSIONAL DIFFUSION PROCESSES WITH
DISCONTINUOUS COEFFICIENTS AND APPLICATIONS TO SIMULATION

APPROXIMATION DE PROCESSUS DE DIFFUSION À COEFFICIENTS DISCONTINUS EN DIMENSION UN
ET APPLICATIONS À LA SIMULATION

Pierre Etoré (1, 2)

1 IECN - Institut Élie Cartan de Nancy
2 OMEGA - Probabilistic numerical methods

In this thesis numerical schemes for processes /X/ generated by
operators with discontinuous coefficients are studied.
A first scheme for the one-dimensional case uses Differential
Stochastic Equations with Local Time. Indeed, in dimension one, the
processes /X/ are solutions of such equations. We construct a grid on
the real line, that is transformed by a proper bijection in a uniform
grid of step /h/. This bijection also transforms /X/ in some process
/Y/, that behaves locally like a Skew Brownian Motion (SBM). We know
the transition probabilities of the SBM on a uniform grid, and the
average time it spends on each of its cells. A random walk can then
be built, that converges to /X/ in square root of /h/. A second
scheme, that is more general, is proposed still for the dimension
one. A non uniform grid on the real line is given, whose cells have a
size proportional to /h/. Both the transition probabilities of /X/ on
this grid, and the average time it spends on each of its cells, can
be related to the solutions of proper elliptic PDE problems, using
the Feynman-Kac formula. A time-space random walk can then be built,
that converges to /X/ again in square root of /h/. Next some
directions to adapt this approach to the two-dimensional case are
given. Finally numerical exemples illustrate the studied schemes.

Dans cette thèse on étudie des schémas numériques pour des processus
/X/ à coefficients discontinus. Un premier schéma pour le cas
unidimensionnel utilise les Équations Différentielles Stochastiques
avec Temps Local. En effet en dimension un les processus /X/ sont
solutions de telles équations. On construit une grille sur la droite
réelle, qu'une bijection adéquate transforme en une grille uniforme
de pas /h/. Cette bijection permet de transformer /X/ en /Y/ qui se
comporte localement comme un Skew Brownian Motion, pour lequel on
connaît les probabilités de transition sur une grille uniforme, et le
temps moyen passé sur chaque cellule de cette grille. Une marche
aléatoire peut alors être construite, qui converge vers /X/ en racine
de /h/. Toujours dans le cas unidimensionnel on propose un deuxième
schéma plus général. On se donne une grille non uniforme sur la
droite réelle, dont les cellules ont une taille proportionnelle à
/h/. On montre qu'on peut relier les probabilités de transition de
/X/ sur cette grille, ainsi que le temps moyen passé par /X/ sur
chacune de ses cellules, à des solutions de problèmes d'EDP
elliptiques ad hoc. Une marche aléatoire en temps et en espace est
ainsi construite, qui permet d'approcher /X/ à nouveau en racine de
/h/. Ensuite on présente des pistes pour adapter cette dernière
approche au cas bidimensionnel et les problèmes que cela soulève.
Enfin on illustre par des exemples numériques les schémas étudiés.

Mots clés: one-dimensional diffusion processes; SDE with local time; random walk; Donsker theorem; Feynman-Kac formula; elliptic PDE; numeric schemes

Mots clés: diffusions en dimension un; EDS avec temps local; Skew Brownian Motion; marche aléatoire; théorème de Donsker; formule de Feynman-Kac; EDP elliptiques; schéma numériques

Domaines: Mathématiques [math]

Pierre Etoré. APPROXIMATION DE PROCESSUS DE DIFFUSION À COEFFICIENTS DISCONTINUS EN DIMENSION UN
ET APPLICATIONS À LA SIMULATION. Mathématiques [math]. Université Henri Poincaré - Nancy 1, 2006. Français. ⟨NNT : 2006NAN10160⟩. ⟨tel-01746567v2⟩