Opérateurs de Dirac sur les sous-variétés
Résumé
In this thesis, we study the spectrum of two Dirac operators defined on a submanifold. First, we prove a lower bound for an operator which is canonically associated with the Dirac-Witten's operator. We then show that equality holds in these inequalities only if the submanifold admits a "twisted Killing" spinor. On the other hand, we give extrinsic upper bounds for the smallest eigenvalues of the Dirac operator on the submanifold twisted with its normal bundle. Completing C. Bär's work for hypersurfaces of the hyperbolic space, we obtain new estimates for hypersurfaces of manifolds admitting twistor-spinors. We finally extend these results to submanifolds of some particular Kählerian manifolds. The existence of Kählerian Killing spinors on such manifolds yields new eigenvalue estimates for CR-submanifolds. As a consequence, we obtain a comparison theorem for the eigenvalues of Dirac operators between Kählerian submanifolds of the complex projective space.
Les travaux effectués dans cette thèse portent sur l'étude du spectre de deux opérateurs de Dirac définis sur une sous-variété. Dans un premier temps, nous minorons la plus petite valeur propre d'un opérateur canoniquement associé à l'opérateur de Dirac-Witten. Nous montrons par la suite que l'égalité dans ces minorations ne peut être atteinte que si la sous-variété admet un spineur dit de Killing tordu. Dans un second temps, nous majorons les petites valeurs propres de l'opérateur de Dirac de la sous-variété tordu par son fibré normal. Complétant les travaux de C. Bär pour les hypersurfaces de l'espace hyperbolique, nous donnons de nouvelles estimations pour les hypersurfaces de variétés admettant des spineurs-twisteurs. Nous étendons enfin ces résultats aux sous-variétés de certaines variétés kählériennes. L'existence de spineurs de Killing kählériens sur de telles variétés permet d'estimer les petites valeurs propres des sous-variétés CR. Nous obtenons comme conséquence un théorème de comparaison de valeurs propres pour les sous-variétés kählériennes de l'espace projectif complexe.