Conformal aspect of the Dirac operator on manifolds with boundary

Aspect conforme de l'opérateur de Dirac sur une variété à bord

Simon Raulot (1)

1 IECN - Institut Élie Cartan de Nancy

In this thesis, we study the conformal aspect of the spectrum of the Dirac operator on manifolds with boundary. First, we prove some lower bounds for the first eigenvalue of the Dirac operator under two local boundary conditions using the conformal covariance of these operators. A carefully treatment of these boundary conditions leads to a classical estimation of the eigenvalues of the Dirac operator under one of the preceding boundary conditions which improves a previous result of O. Hijazi, S. Montiel and A. Roldán. In a second time, we construct a spinorial conformal invariant defined from the first eigenvalue of the Dirac operator under the generalized chiral bag boundary condition. This invariant can be seen as an analogous of the Yamabe invariant in the setting of spin geometry. A detailed study of this invariant leads to the construction of the Green function for the Dirac operator.

La principale motivation des travaux de cette thèse est d'étudier l'aspect conforme du spectre de l'opérateur de Dirac sur une variété à bord. Dans un premier temps, on donnera des estimations de la première valeur propre de l'opérateur de Dirac fondamental de la variété M sous deux conditions à bord locales prenant en compte leurs propriétés conformes. Une étude détaillée de ces conditions à bord permet alors de clore cette première partie par une estimation classique du spectre de l'opérateur de Dirac, raffinant un résultat antèrieur de O. Hijazi, S. Montiel et A. Roldan. Dans un second temps, on construit un invariant spinoriel conforme à partir de la première valeur propre de l'opérateur de Dirac sous une des conditions à bord étudiée dans le premier chapitre. Cet invariant peut être vu comme l'analogue de l'invariant de Yamabe dans le cadre spinoriel. Une étude approfondie de cet invariant conduit de manière naturelle à la construction de la fonction de Green de l'opérateur de Dirac.

Mots clés: spin geometry; manifolds with boundary; Dirac operator; local boundary conditions; eigenvalues; Yamabe invariant; Green function; positive mass theorem

Mots clés: géométrie spinorielle; variétés à bord; opérateur de Dirac; conditions à bord locales; valeurs propres; invariant de Yamabe; fonction de Green; théorème de la masse positive

Domaines: Mathématiques [math]

Simon Raulot. Aspect conforme de l'opérateur de Dirac sur une variété à bord. Mathématiques [math]. Université Henri Poincaré - Nancy 1, 2006. Français. ⟨NNT : 2006NAN10219⟩. ⟨tel-01747391v2⟩