The reverse mathematics of Ramsey-type theorems

Les mathématiques à rebours des théorèmes de type Ramsey

Ludovic Patey (1, 2)

1 IRIF (UMR_8243) - Institut de Recherche en Informatique Fondamentale
2 PI.R2 - Design, study and implementation of languages for proofs and programs

In this thesis, we investigate the computational content and the logical strength of Ramsey's theorem and its consequences. For this, we use the frameworks of reverse mathematics and of computable reducibility. We proceed to a systematic study of various Ramsey-type statements under a unified and minimalistic framework and obtain a precise analysis of their interrelations. We clarify the role of the number of colors in Ramsey's theorem. In particular, we show that the hierarchy of Ramsey's theorem induced by the number of colors is strictly increasing over computable reducibility, and exhibit in reverse mathematics an infinite decreasing hiearchy of Ramsey-type theorems by weakening the homogeneity constraints. These results tend to show that the Ramsey-type statements are not robust, that is, slight variations of the statements lead to strictly different subsystems. Finally, we pursuit the analysis of the links between Ramsey's theorems and compacity arguments, by extending Liu's theorem to several Ramsey-type statements and by proving its optimality under various aspects.

Dans cette thèse, nous investiguons le contenu calculatoire et la force logique du théorème de Ramsey et de ses conséquences. Pour cela, nous utilisons les outils des mathématiques à rebours et de la réduction calculatoire. Nous procédons à une analyse systématique de divers énoncés de type Ramsey à travers des outils unifiés et minimalistes, et obtenons une analyse précise de leurs interdépendances. Nous clarifions notamment le role du nombre de couleurs dans le théorème de Ramsey. En particulier, nous montrons que la hiérarchie du théorème de Ramsey induite par le nombre de couleurs est strictement croissante au niveau des réductions calculatoires, et exhibons en mathématiques à rebours une hiérarchie infinie décroissante de théorèmes de type Ramsey en affaiblissant les contraintes d’homogénéité. Ces résultats tendent à montrer que les énoncés de type Ramsey ne sont pas robustes, c’est-à-dire que de faibles variations des énoncés mènent à des sous-systèmes strictement différents. Enfin, nous poursuivons l’analyse des liens entre les théorèmes de Ramsey et les arguments de compacité, en étendant le théorème de Liu à de nombreux énoncés de type Ramsey et en prouvant son optimalité sous différents aspects.

Mots clés: Reverse mathematics; Computability theory; Ramsey's theorem

Mots clés: Mathématiques à rebours; Calculabilité; Théorème de Ramsey

Domaines: Logique [math.LO]

Ludovic Patey. The reverse mathematics of Ramsey-type theorems. Logic [math.LO]. Université Paris Diderot (Paris 7) Sorbonne Paris Cité, 2016. English. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-01888675⟩