Contribution à l'analyse numérique de problèmes d'évolution : comportements asymptotiques et applications à l'équation de Schrödinger
Résumé
Je regroupe dans ce manuscrit d'habilitation à diriger les recherches
l'ensemble des travaux que j'ai réalisés au sein d'Inria. Il s'agit de questions de
comportement de méthodes numériques d'intégration de problèmes d'évolution en
temps issus de la modélisation, déterministe ou stochastique, de systèmes physiques.
On aborde des question quantitatives, proposant et analysant des méthodes d'ordre
élevé pour des équations de Schrödinger non-linéaires permettant par exemple de
simuler efficacement des condensats de Bose Einstein en rotation. On considère
aussi des méthodes numériques appliquées à des problèmes stochastiques (équations
différentielles de Poisson, équation de Schrödinger non-linéaire avec dispersion
aléatoire), en proposant et analysant des méthodes d'ordre 1.
On aborde également des questions qualitatives, en analysant le comportement en
temps long de méthodes numériques. On s'intéresse notamment à la préservation de
la régularité des solutions de l'équation de Schrödinger linéaire par des méthodes
de décomposition en temps. On propose une étude des méthodes de décomposition
avec sous-cyclage pour l'intégration en temps de problèmes multi-échelles, montrant
sur des exemples qu'il est possible que l'ordre asymptotique d'une méthode soit
strictement supérieur à son ordre local. Enfin, on propose des discrétisations en
espace, en vitesse et en temps de l'équation de Fokker Planck inhomogène et l'on
montre qu'il est possible d'utiliser au niveau discret des méthodes hypocoercives
garantissant la convergence exponentielle des solutions numériques vers un état
d'équilibre.
On aborde enfin des questions plus directement en lien avec la physique. On utilise
des méthodes numériques pour simuler le phénomène d'instabilité modulationnelle
dans les fibres optiques à dispersion variable en dispersion normale et valider
une analyse théorique de ce phénomène. On étudie le comportement vis-à-vis des
paramètres de dispersion des solitons de Peregrine et de Kuznetsov Ma dans des
fibres en dispersion anormale. Enfin, on compare la réponse d'un quantum dot
de deux électrons prévue par plusieurs modèles physiques à une forte et courte
excitation magnétique, au-delà de la réponse linéaire.
Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)
Loading...