Some properties and applications of minimum time control
Quelques propriétés et applications du contrôle en temps minimal
Résumé
This thesis contributes to the optimal time study of control-affine systems. These problems arise naturally from
physics, and contains, for instance, mechanical systems.
We tackle the study of their singularities, while minimizing
the final time, meaning the time on which the aim is reached.
We give a precise study of the extremal flow, for mechanical systems, for starter, and then, in general. \linebreak
This leads to
the knowledge of the flow regularity: it is smooth on a stratification around the singular set. We then apply those
results to mechanical systems, and orbit transfer problems, with two and three bodies, giving an upper bound to the number of singularities occurring during a transfer. \linebreak
We then change our viewpoint to study the optimality of such
extremal in general, and give an optimality criteria than can be easily checked \linebreak
numerically.
In the last chapter we study the singularities of the controlled Kepler problem through another path: we prove a non-integrability theorem - in the Liouville sens -
for the Hamiltonian system given by the minimum time orbit transfer (or rendez-vous) problem in the Kepler configuration.
Cette thèse contribue à l'étude en temps minimal des systèmes de contrôle affines. Les systèmes dépendant du contrôle de manière affine sont naturellement présents en physique et apparaissent dès qu'on s'intéresse aux systèmes mécaniques. Ils sont, pour autant, bien plus généraux. Dans ce manuscrit on traite les singularités de tels systèmes, en minimisant le temps final, celui où l'objectif est atteint. Une étude précise de leur flot extrémal est faite, d'abord pour les systèmes mécaniques, puis en général. Cela nous permet d'obtenir la régularité du flot, qui s'avère être lisse sur une stratification au voisinage du lieu singulier. Nous appliquons ensuite les résultats au problème du transfert d'orbite d'un engin spatial, et contrôlons le nombre singularités présentes au cours d'un transfert. Nous changeons ensuite de point de vue pour s'intéresser aux conditions d'optimalités des extrémales étudiées, et donnons un critère d'optimalité locale, calculable via un simple test numérique. Il est enfin question d'étudier ces singularités du point de vue de l'intégrabilité des systèmes Hamiltoniens : nous prouvons ainsi que le problème du transfert d'orbite à deux corps en temps minimal n'est pas intégrable au sens de Liouville.
Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)
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