Isogeny graphs, modular polynomials, and applications

Graphes d'isogénies, polynômes modulaires et applications

Chloe Martindale (1, 2)

1 IMB - Institut de Mathématiques de Bordeaux
2 Inria Bordeaux - Sud-Ouest

My thesis looks at ordinary abelian varieties defined with maximal real multiplication. I define modular polynomials in this setting and give an algorithm to compute them over the complex numbers, and for surfaces over finite fields. I also give a structure theorem for isogeny graphs in this setting. I give a generalisation of Schoof-Elkies-Atkin to genus 2 curves with fixed maximal real multiplication using the modular polynomials.

Dans ma thèse j'etude les variétés abéliennes ordinaires définies avec multiplication réelle maximale. Je définis des polynômes modulaires dans ce situation et je donne un algorithme pour calculer sur les nombres complexes et pour les surfaces sur des corps finis. Je donne aussi un théorème de structure pour les graphs des isogénies dans ce contexte. Je donne une généralisation de Schoof-Elkies-Atkin aux courbes de genre 2 avec multiplication réelle maximale fixe en utilisant les polynômes modulaires.

Mots clés: Graph; Isogeny; Modular polynomial

Mots clés: Graphe; Isogénie; Polynômes modulaires

Domaines: Théorie des nombres [math.NT]

Chloe Martindale. Isogeny graphs, modular polynomials, and applications. Number Theory [math.NT]. Université de Bordeaux; Universiteit Leiden (Leyde, Pays-Bas), 2018. English. ⟨NNT : 2018BORD0086⟩. ⟨tel-01992715⟩