Frontières libres

Paul Vigneaux

Résumé

This memoire, based on the works done at the ENS de Lyon (2008-2017), is made of two parts. The first one is concerned by several aspects of the numerical simulation of viscoplastic fluids, thanks to duality methods (augmented Lagrangian and Bermúdez-Moreno). On the one hand, works on the design of well - balanced finite volume numerical schemes for prototypes of Shallow Water Bingham models (i.e. integrated in the vertical direction) are described. The 1D case is summarized while the 2D framework, which constitutes an original contribution of this document, is given in more details. In particular, we finish by an illustration of a viscoplastic avalanche in the Taconnaz avalanche path (Chamonix, Mont-Blanc). On the other hand, we give a synthesis on the work on the full 2D incompressible Bingham equations (i.e. not integrated like in the previous case) and its comparison with physical experiments in an expansion-contraction geometry. In the second part, we give an overview of the work done within the INRIA Numed Team, concerning the development of Bayesian methods for the parameters estimation of PDEs based models. More precisely, this work is based on SAEM methods which are intensively used in Medicine and Biology. The computational cost, associated to the numerous evaluations of the PDE model, being prohibitive, we proposed: (i) the implementation of a fixed metamodel (computed offline), based on an autorefined (structured tree) interpolation grid. And (ii) a kriged metamodel which is refined online during the SAEM iterations.

Ce mémoire, basé sur l'activité réalisée à l'ENS de Lyon, est structuré en deux parties. Dans la première, nous traitons de divers aspects de la simulation numérique de fluides viscoplastiques, grâce à des méthodes de dualité (Lagrangien Augmenté et Bermúdez-Moreno). D'une part, les travaux sur le développement de schémas numériques volumes-finis "bien équilibrés" pour des équations de type Saint-Venant Bingham (intégration sur la verticale) sont décrits. Le cas 1D est synthétisé alors que le cadre bidimensionnel, qui constitue une contribution originale de ce document, est présenté plus en détails. En particulier, nous finissons par une illustration d'avalanche viscoplastique dans le couloir de Taconnaz (Massif du Mont-Blanc). D'autre part, nous donnons un résumé du travail de simulation sur les équations de Bingham incompressible 2D complètes (i.e. non intégrées, par opposition au cas précédent) et la comparaison avec des expériences physiques dans une géométrie de type expansion-contraction. Dans la seconde partie, nous donnons un survol des activités réalisées au sein de l'équipe INRIA Numed, concernant le développement de méthodes bayesiennes pour l'estimation de paramètres de modèles à base d'EDP. Plus précisément, ce travail concerne les méthodes SAEM qui sont très utilisées dans le domaine biomédical. Etant donné le coût prohibitif associé aux nombreuses évaluations du modèle EDP, nous avons proposé, d'une part, une implémentation de métamodèle fixe à base de grille d'interpolation autoraffinée (de type structuré arborescent) et, d'autre part, une méthode de métamodèle évolutif (construit par krigeage) se raffinant au cours des itérations du SAEM, elles mêmes.